Seja E=e1, e2, e3, e4 uma base de R^4. Considere a aplicação linear definida por f(e1)= -2 e1-3 e4, f(e2)=10 e1+2 e2-6 e3+8 e4, f(e3)=3 e1+e2-3 e3+e4 e f(e4)=5 e1+e2-3 e3+4 e4.
Encontre o Kernel de f.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear f:R^4toR^4 cujas imagens de e1,e2,e3,e4 estão explicitadas. Queremos encontrar
ker(f)=xinR^4mid f(x)=0.
Para isso, vamos montar a matriz de f na base E e resolver o sistema homogêneo A x=0.

Passo 2

As colunas da matriz A são as coordenadas de f(ej) na base E. Assim
A = -2 & 10 & 3 & 5 0 & 2 & 1 & 1 0 & -6 & -3 & -3 -3 & 8 & 1 & 4

Passo 3

Seja x=(x1,x2,x3,x4)^T. A condição f(x)=0 vira
A x = 0 ;Long<=ftrightarrow; -2x1 +10x2 +3x3 +5x4 = 0, 2x2 +x3 +x4 = 0, -6x2 -3x3 -3x4 = 0, -3x1 +8x2 +x3 +4x4 = 0

Passo 4

Notamos que a terceira equação é -3 vezes a segunda, logo é redundante. Usamos as duas primeiras para eliminar x1 e x3:
Da segunda equação,
x3 = -2x2 - x4
Na primeira,
-2x1 +10x2 +3(-2x2 -x4)+5x4=0 ;Rightarrow; -2x1 +4x2 +2x4=0 ;Rightarrow; x1 = 2x2 + x4

Passo 5

Verifica-se que a quarta equação fica satisfeita automaticamente. Restam duas variáveis livres, que chamamos t=x2 e s=x4. Então
x = (x1,x2,x3,x4) = (2t+s,;t,;-2t-s,;s) = t,(2,1,-2,0) + s,(1,0,-1,1)

Resposta

ker(f)=lang<=(2,1,-2,0),,(1,0,-1,1)rang<=,
ou seja
ker(f)=span,2e1+e2-2e3,;e1-e3+e4

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