1. (Matriz da transformação linear composta)

Considere os seguintes operadores lineares no \mathbb{R}^{2} definidos da seguinte forma:
T(x, y)=(x, x-y), \text { e } U(x, y)=(x+y, 2 x) .
Considere B=\{(1,0),(0,1)\} a base canônica do \mathbb{R}^{2}.
(a) Calcule as matrizes [T]_{B, B} \mathrm{e}[U]_{B, B}.
(b) Calcule a matriz da transformação composta T \circ U
(c) Usando a matriz da transformação composta obtida no ítem (b), determine a lei de formação da transformação linear composta T \circ U.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^{2}:
T(x,y)=(x,x-y), \qquad U(x,y)=(x+y,2x),
e a base canônica B=\{(1,0),(0,1)\}.
As perguntas são:
(a) calcular as matrizes [T]_{B,B} e [U]_{B,B};
(b) calcular a matriz de T\circ U;
(c) a partir da matriz de T\circ U determinada em (b), encontrar a lei de formação de T\circ U (isto é, a fórmula que dá (T\circ U)(x,y) para um vetor genérico (x,y)).

Passo 2

Como obter a matriz de uma transformação linear na base canônica: as colunas da matriz [L]_{B,B} de uma transformação linear L são as coordenadas de L(e_1) e L(e_2), onde e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Vou aplicar isso a T.
Calcular T sobre os vetores da base:
T(1,0)=(1,\;1-0)=(1,1), \qquad T(0,1)=(0,\;0-1)=(0,-1).
Esses são os vetores coluna da matriz de T. Portanto, em notação matricial:
[T]_{B,B}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora U. Calcular U sobre os vetores da base:
U(1,0)=(1+0,\;2\cdot1)=(1,2), \qquad U(0,1)=(0+1,\;2\cdot0)=(1,0).
Esses são as colunas da matriz de U. Logo:
[U]_{B,B}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Matriz da composta: para transformações lineares T e U com a mesma base, vale
[T\circ U]_{B,B}=[T]_{B,B}\,[U]_{B,B}.
Vou multiplicar as matrizes calculadas. Escrevendo-as:
[T]_{B,B}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}, \qquad [U]_{B,B}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
Multiplicando coluna a coluna:
  • Primeira coluna de [T][U] = [T] aplicado à primeira coluna de [U], isto é [T]\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot2 \\[4pt]1\cdot1+(-1)\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • Segunda coluna de [T][U] = [T] aplicado à segunda coluna de [U], isto é [T]\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot0 \\[4pt]1\cdot1+(-1)\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto
[T\circ U]_{B,B}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Lei de formação de T\circ U a partir da matriz encontrada: aplicar a matriz [T\circ U]_{B,B} a um vetor genérico (x,y). Em notação:
(T\circ U)(x,y)=[T\circ U]_{B,B}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
Fazendo o produto:
\begin{pmatrix}1\cdot x + 1\cdot y \\[4pt] -1\cdot x + 1\cdot y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x+y \\[4pt] y-x\end{pmatrix}.
Verificação alternativa (opcional, mas pedagógica): primeiro U(x,y)=(x+y,2x) e depois
T(U(x,y))=T(x+y,2x)=(x+y,\; (x+y)-2x)=(x+y,\;y-x),
que coincide com o resultado da multiplicação da matriz.]

Resposta

[T]_{B,B}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}
[U]_{B,B}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}
[T\circ U]_{B,B}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}
(T\circ U)(x,y)=(x+y,\;y-x)]

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