1. (Matriz da transformação linear composta)
Considere os seguintes operadores lineares no
definidos da seguinte forma:
Considere
a base canônica do
.
(a) Calcule as matrizes
.
(b) Calcule a matriz da transformação composta
(c) Usando a matriz da transformação composta obtida no ítem (b), determine a lei de formação da transformação linear composta
.
(a) Calcule as matrizes
(b) Calcule a matriz da transformação composta
(c) Usando a matriz da transformação composta obtida no ítem (b), determine a lei de formação da transformação linear composta
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares em
:
e a base canônica
.
As perguntas são:
(a) calcular as matrizes e
;
(b) calcular a matriz de ;
(c) a partir da matriz de determinada em (b), encontrar a lei de formação de
(isto é, a fórmula que dá
para um vetor genérico
).
As perguntas são:
(a) calcular as matrizes
(b) calcular a matriz de
(c) a partir da matriz de
Passo 2
Como obter a matriz de uma transformação linear na base canônica: as colunas da matriz
de uma transformação linear
são as coordenadas de
e
, onde
e
. Vou aplicar isso a
.
Calcular
sobre os vetores da base:
Esses são os vetores coluna da matriz de
. Portanto, em notação matricial:
Passo 3
Agora
. Calcular
sobre os vetores da base:
Esses são as colunas da matriz de
. Logo:
Passo 4
Matriz da composta: para transformações lineares
e
com a mesma base, vale
Vou multiplicar as matrizes calculadas. Escrevendo-as:
Multiplicando coluna a coluna:
- Primeira coluna de
= aplicado à primeira coluna de , isto é :
- Segunda coluna de
= aplicado à segunda coluna de , isto é :
Portanto
Passo 5
Lei de formação de
a partir da matriz encontrada: aplicar a matriz
a um vetor genérico
. Em notação:
Fazendo o produto:
Verificação alternativa (opcional, mas pedagógica): primeiro
e depois
que coincide com o resultado da multiplicação da matriz.]