Considere os vetores
e
quaisquer.
(a) Dentre todos os pontos pertencentes à reta
de equação paramétrica
, determine aquele que é mais próximo a
. Esse ponto é chamado de projeção de
sobre
e denotado por
.
(b) Sendo
o ângulo entre
e
, determine
.
(a) Dentre todos os pontos pertencentes à reta
(b) Sendo
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores em
,
e pede:
– (a) encontrar, na reta , o ponto mais próximo de
(projeção de
sobre
);
– (b) determinar , sendo
o ângulo entre
e
.
Vamos usar produto escalar, norma e minimização de função.
– (a) encontrar, na reta
– (b) determinar
Vamos usar produto escalar, norma e minimização de função.
Passo 2
Definimos a função que mede ao quadrado a distância de
a um ponto genérico
em
:
Expandindo,
Para minimizar, derivamos em
e igualamos a zero:
Passo 3
O ponto de
que minimiza a distância é
Em coordenadas, como
e
,
Passo 4
Pela definição do ângulo entre vetores,
Logo isolamos
:
Resposta
(a)
(b)