Considere os vetores u=\left(x_{1}, y_{1}\right) e v=\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} quaisquer.
(a) Dentre todos os pontos pertencentes à reta r de equação paramétrica (x, y)=t v, determine aquele que é mais próximo a u. Esse ponto é chamado de projeção de u sobre v e denotado por P_{v} u.
(b) Sendo \theta o ângulo entre u e v, determine \cos \theta.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb R^2,
u=(x_{1},y_{1}) \quad\text{e}\quad v=(x_{2},y_{2}),
e pede:
– (a) encontrar, na reta r=\{t\,v:t\in\mathbb R\}, o ponto mais próximo de u (projeção de u sobre v);
– (b) determinar \cos\theta, sendo \theta o ângulo entre u e v.
Vamos usar produto escalar, norma e minimização de função.

Passo 2

Definimos a função que mede ao quadrado a distância de u a um ponto genérico t\,v em r:
f(t)=\|u - t\,v\|^2=\langle u - t\,v,\,u - t\,v\rangle.
Expandindo,
f(t)=\|u\|^2 - 2\,t\,\langle u,v\rangle + t^2\,\|v\|^2.
Para minimizar, derivamos em t e igualamos a zero:
f'(t)=-2\,\langle u,v\rangle + 2\,t\,\|v\|^2=0 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}.

Passo 3

O ponto de r que minimiza a distância é
P_{v}u =\;t\,v =\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}\;v.
Em coordenadas, como \langle u,v\rangle = x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} e \|v\|^2=x_{2}^2+y_{2}^2,
P_{v}u =\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\,(x_{2},y_{2}).

Passo 4

Pela definição do ângulo entre vetores,
\langle u,v\rangle =\|u\|\;\|v\|\;\cos\theta.
Logo isolamos \cos\theta:
\cos\theta =\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\;\|v\|} =\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\;\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}.

Resposta

(a) P_{v}u =\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\,(x_{2},y_{2}).
(b) \cos\theta =\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\;\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}.

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