Considere u, v e w vetores de um espaço vetorial V sobre os R, dotado de produto interno. Escreva as expressões abaixo em termos de lang<=u, urang<=,lang<=u, vrang<=,lang<=u, wrang<=,lang<=v, vrang<=,lang<=v, wrang<= e lang<=w, wrang<=.
|2 u+2 v|^2

Passo 1

O enunciado pede para escrever
|2u+2v|^2
em termos dos produtos internos
lang<=u,urang<=,
lang<=u,vrang<= e
lang<=v,vrang<=.
Vamos usar a definição de norma em espaço com produto interno, isto é
|x|^2=lang<=x,xrang<=,
e a linearidade bilinear do produto interno.

Passo 2

Aplicamos essa definição a x=2u+2v:
|2u+2v|^2 =lang<= 2u+2v,,2u+2vrang<=
Como o produto interno é bilinear, podemos distribuir constantes e somas:
lang<= 2u+2v,,2u+2vrang<= =2cdot2,lang<= u,urang<= +2cdot2,lang<= u,vrang<= +2cdot2,lang<= v,urang<= +2cdot2,lang<= v,vrang<=

Passo 3

Usando a simetria lang<=u,vrang<==lang<=v,urang<=, obtemos
|2u+2v|^2 =4,lang<=u,urang<= +8,lang<=u,vrang<= +4,lang<=v,vrang<=

Resposta

|2u+2v|^2 =4,lang<=u,urang<= +8,lang<=u,vrang<= +4,lang<=v,vrang<=

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