Determine o valor de a para que os vetores sejam coplanares u= (2,4,0), v=(3,2,-1) e w=(a, 0,1).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=(2,4,0), v=(3,2,-1) e w=(a,0,1).
Queremos o valor de a que torna esses vetores coplanares.
Para vetores em R^3, a condição de coplanaridade é o produto misto (ou determinante das componentes) igual a zero.

Passo 2

Escrevemos o produto misto como determinante:
det 2 & 4 & 0 3 & 2 & -1 a & 0 & 1 =0

Passo 3

Vamos expandir o determinante pela primeira linha:

Passo 4

Calculando cada menor:
2l(2cdot1-(-1)cdot0r) -4l(3cdot1-(-1)cdot ar) =2cdot2-4(3+a) =4-12-4a =-8-4a
Igualando a zero:
-8-4a=0 Longrightarrow a=-2

Resposta

O valor de a que torna u, v e w coplanares é -2.

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