Considere u, v e w vetores de um espaço vetorial V sobre os R, dotado de produto interno. Escreva as expressões abaixo em termos de lang<=u, urang<=,lang<=u, vrang<=,lang<=u, wrang<=,lang<=v, vrang<=,lang<=v, wrang<= e lang<=w, wrang<=.
lang<= 5 v+3 w, u-6 v+4 wrang<=

Passo 1

O enunciado pede para escrever o escalar lang<= 5v+3w,;u-6v+4wrang<= em termos dos produtos internos
lang<= u,urang<=, lang<= u,vrang<=, lang<= u,wrang<=, lang<= v,vrang<=, lang<= v,wrang<= e lang<= w,wrang<=.
O que vamos usar é a bilinearidade e a simetria do produto interno em V.

Passo 2

Lembrando que para quaisquer vetores x,y,z e escalares a,b vale
lang<= a,x + b,y,;zrang<= = a,lang<= x,zrang<= + b,lang<= y,zrang<=
e
lang<= x,;a,y + b,zrang<= = a,lang<= x,yrang<= + b,lang<= x,zrang<=,
além de
lang<= x,yrang<==lang<= y,xrang<=.

Passo 3

Aplicando bilinearidade em ambos os argumentos, temos
lang<= 5v+3w,;u-6v+4wrang<= =5lang<= v,urang<= -30lang<= v,vrang<= +20lang<= v,wrang<= +3lang<= w,urang<= -18lang<= w,vrang<= +12lang<= w,wrang<=

Passo 4

Usando a simetria lang<= v,urang<==lang<= u,vrang<= e lang<= w,vrang<==lang<= v,wrang<=,
e combinando 20lang<= v,wrang<= -18lang<= v,wrang<=, obtemos
5lang<= u,vrang<= +3lang<= u,wrang<= -30lang<= v,vrang<= +(20-18)lang<= v,wrang<= +12lang<= w,wrang<= =5lang<= u,vrang<= +3lang<= u,wrang<= -30lang<= v,vrang<= +2lang<= v,wrang<= +12lang<= w,wrang<=

Resposta

5lang<= u,vrang<= +3lang<= u,wrang<= -30lang<= v,vrang<= +2lang<= v,wrang<= +12lang<= w,wrang<=

Exercícios relacionados