Dados os pontos e , determinar o ponto do eixo , tal que o volume do tetraedro determinado por e A D seja 12 u.v.
Passo 1
O enunciado dá os pontos
A=(3,4,0), B=(0,-2,0), C=(1,2,4)
e pede um ponto D sobre o eixo Oy (logo de forma (0,y,0)) tal que o volume do tetraedro formado pelos vetores AB,AC,AD seja 12 u.v.
Para resolver, vamos usar a fórmula do volume via produto misto de vetores:
Volume=16l|det[AB,AC,AD]r|
Passo 2
Parametrizamos
D=(0,y,0)
Então os vetores são
AB=B-A=(0-3,,-2-4,,0-0)=(-3,-6,0),
AC=C-A=(1-3,,2-4,,4-0)=(-2,-2,4),
AD=D-A=(0-3,,y-4,,0-0)=(-3,,y-4,,0)
Passo 3
Montamos a matriz cujas colunas são AB,AC,AD e calculamos seu determinante:
M= -3 & -2 & -3 -6 & -2 & y-4 0 & 4 & 0
Fazendo a expansão pela primeira linha:
det M =-3det!-2&y-44&0 -(-2)det!-6&y-40&0 -3det!-6&-20&4
Calculando cada menor:
det!-2&y-44&0=-2cdot0-4,(y-4)=-4(y-4),
det!-6&y-40&0=0,
det!-6&-20&4=-6cdot4= -24
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det M =-3l[-4(y-4)r]+0-3l[-24r] =12(y-4)+72 =12(y+2)