Dados os pontos A(3,4,0), B(0,-2,0) e C(1,2,4), determinar o ponto D do eixo O y, tal que o volume do tetraedro determinado por A B, A C e A D seja 12 u.v.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(3,4,0), B=(0,-2,0), C=(1,2,4)
e pede um ponto D sobre o eixo Oy (logo de forma (0,y,0)) tal que o volume do tetraedro formado pelos vetores AB,AC,AD seja 12 u.v.
Para resolver, vamos usar a fórmula do volume via produto misto de vetores:
Volume=16l|det[AB,AC,AD]r|

Passo 2

Parametrizamos
D=(0,y,0)
Então os vetores são
AB=B-A=(0-3,,-2-4,,0-0)=(-3,-6,0),
AC=C-A=(1-3,,2-4,,4-0)=(-2,-2,4),
AD=D-A=(0-3,,y-4,,0-0)=(-3,,y-4,,0)

Passo 3

Montamos a matriz cujas colunas são AB,AC,AD e calculamos seu determinante:
M= -3 & -2 & -3 -6 & -2 & y-4 0 & 4 & 0
Fazendo a expansão pela primeira linha:
det M =-3det!-2&y-44&0 -(-2)det!-6&y-40&0 -3det!-6&-20&4
Calculando cada menor:
det!-2&y-44&0=-2cdot0-4,(y-4)=-4(y-4),
det!-6&y-40&0=0,
det!-6&-20&4=-6cdot4= -24
Logo
det M =-3l[-4(y-4)r]+0-3l[-24r] =12(y-4)+72 =12(y+2)

Passo 4

Pela fórmula do volume temos
12 =16l|det Mr| =16l|12(y+2)r| =2,|y+2|
Assim
2,|y+2|=12 Longrightarrow |y+2|=6 Longrightarrow y+2=pm6

Passo 5

Resolvendo y+2=6 ou y+2=-6 obtemos
y=4 ou y=-8
Portanto os possíveis pontos D são
D1=(0,4,0) e D2=(0,-8,0),
cada um dando volume 12.

Resposta

D=(0,4,0) ou D=(0,-8,0).

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