Considere
u(x, t)=(x-6 t) e^-(x-6 t)^2
Determine a constante lambda tal que a seguinte equação diferencial parcial seja satisfeita
partial^2 upartial x^2=lambda partial^2 upartial t^2
A constante lambda é dada por square

Passo 1

O enunciado apresenta a solução candidata u(x,t)=(x-6t)e^-(x-6t)^2 e pede para determinar a constante lambda que satisfaz a PDE de segunda ordem partial^2 upartial x^2=lambdapartial^2 upartial t^2. Vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Observamos que u depende de (x,t) apenas através de z = x - 6t. Definimos u(x,t)=f(z) onde f(z)=z e^-z^2. Assim, ao aplicar a regra da cadeia, temos que:\n partial upartial x=f'(z)cdotpartial zpartial x=f'(z)cdot1=f'(z), partial upartial t=f'(z)cdotpartial zpartial t=f'(z)cdot(-6)=-6f'(z)

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas. De novo pela regra da cadeia:\n partial^2 upartial x^2=partialpartial xl(f'(z)r)=f''(z)cdotpartial zpartial x=f''(z),

Passo 4

Substituímos essas expressões na PDE proposta:\n partial^2 upartial x^2=f''(z),lambdapartial^2 upartial t^2=lambdacdot36f''(z)Para que a igualdade f''(z)=36lambda f''(z) valha para todo z (com f''(z) não nulo), precisamos de
resolvendo:\n 1=36lambdaLongrightarrowlambda=136

Resposta

136

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