Considere
Determine a constante
tal que a seguinte equação diferencial parcial seja satisfeita
A constante
é dada por
Passo 1
O enunciado apresenta a solução candidata
e pede para determinar a constante
que satisfaz a PDE de segunda ordem
. Vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Observamos que
depende de
apenas através de
. Definimos
onde
. Assim, ao aplicar a regra da cadeia, temos que:\n
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas. De novo pela regra da cadeia:\n
Passo 4
Substituímos essas expressões na PDE proposta:\n
Para que a igualdade
valha para todo
(com
não nulo), precisamos de
resolvendo:\n