Calcule:
lim x 0(sen(x)x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0l(tfracsin(x)xr)^x. Estamos em um caso de limite do tipo 1^0, então vamos usar logaritmo e expansão em série para resolver.

Passo 2

Definimos y = l(tfracsin(x)xr)^x e calculamos o logaritmo natural:
ln y = x,lnl(sin(x)xr)
Agora basta achar limxto0xlnl(tfracsin(x)xr).

Passo 3

Usamos a expansão em série de Taylor para sin(x) em torno de zero:
sin(x)x = 1 - x^26 + o(x^2)
Aplicando logaritmo em ambos os lados:
lnl(sin(x)xr) = lnl(1 - tfracx^26 + o(x^2)r) = -x^26 + o(x^2)

Passo 4

Multiplicando por x obtemos
xlnl(sin(x)xr) = -x^36 + o(x^3) xrightarrow[xto0] 0
Logo ln yto0 e, por continuação, y = e^ln yto e^0 = 1

Resposta

1

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