Encontre soluções para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados
d yd x-y^2=-9 (0,0),(0,3),(13, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial dydx - y^2 = -9 que passa pelos pontos (0,0), (0,3) e (13, 1). Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e integração. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Temos:
dydx - y^2 = -9
Podemos rearranjar para:
dydx = y^2 - 9

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis y e x. Vamos colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro:
dyy^2 - 9 = dx

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. Antes de integrar o lado esquerdo, vamos fatorar o denominador:
y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3)
Isso nos ajuda a usar frações parciais na integração.

Passo 5

Escrevemos a fração como soma de frações parciais:
1(y - 3)(y + 3) = Ay - 3 + By + 3
Resolvendo para A e B, encontramos A = 16 e B = -16.

Passo 6

Agora, integramos cada parte:
integral ( 16(y - 3) - 16(y + 3) ) dy = integral dx
As integrais ficam:
16 ln|y - 3| - 16 ln|y + 3| = x + C

Passo 7

Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
16 ln(y - 3y + 3) = x + C
Multiplicando ambos os lados por 6:
ln(y - 3y + 3) = 6x + K (onde K = 6C)

Passo 8

Agora, vamos resolver para y. Primeiro, aplicamos a exponenciação em ambos os lados:
y - 3y + 3 = e^6x + K = Ce^6x (onde C = e^K)
Então:
y - 3 = Ce^6x(y + 3)

Passo 9

Isolando y:
y - Ce^6xy = 3Ce^6x + 3
Factorizando y:
y(1 - Ce^6x) = 3(1 + Ce^6x)
Finalmente:
y = 3(1 + Ce^6x)1 - Ce^6x

Passo 10

Agora, usamos os pontos dados para encontrar os valores de C:
  1. Para (0,0):
0 = 3(1 + C)1 - C Rightarrow 3(1 + C) = 0 Rightarrow C = -1
Portanto, a solução é:
y = 3(1 - e^6x)1 + e^6x
  1. Para (0,3):
3 = 3(1 + C)1 - C Rightarrow 1 + C = 1 - C Rightarrow C = 0
Portanto, a solução é:
y = 3(1 + 0)1 - 0 = 3
  1. Para (13, 1):
1 = 3(1 + Ce^2)1 - Ce^2
Multiplicando ambos os lados por 1 - Ce^2:
1 - Ce^2 = 3 + 3Ce^2
Rearranjando:
-Ce^2 - 3Ce^2 = 3 - 1 Rightarrow -4Ce^2 = 2 Rightarrow C = -12e^2
Portanto, a solução é:
y = 3(1 - 12e^2 e^6x)1 + 12e^2 e^6x = 3(2e^2 - e^6x)2e^2 + e^6x

Resposta

As soluções que passam pelos pontos dados são:
  1. Para (0,0):
y = 3(1 - e^6x)1 + e^6x
  1. Para (0,3):
y = 3
  1. Para (13, 1):
y = 3(2e^2 - e^6x)2e^2 + e^6x

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