Encontre soluções para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
que passa pelos pontos
,
e
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e integração. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Temos:
Podemos rearranjar para:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
. Vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. Antes de integrar o lado esquerdo, vamos fatorar o denominador:
Isso nos ajuda a usar frações parciais na integração.
Passo 5
Escrevemos a fração como soma de frações parciais:
Resolvendo para
e
, encontramos
e
.
Passo 6
Agora, integramos cada parte:
As integrais ficam:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Passo 8
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, aplicamos a exponenciação em ambos os lados:
Então:
Passo 9
Isolando
:
Factorizando
:
Finalmente:
Passo 10
Agora, usamos os pontos dados para encontrar os valores de
:
- Para
:
Portanto, a solução é:
- Para
:
Portanto, a solução é:
- Para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Portanto, a solução é:
Resposta
As soluções que passam pelos pontos dados são:
- Para
:
- Para
:
- Para
: