Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício: calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 da expressão $ \left(e{x{2}} - 1\right) \sin\left(\frac{1}{x^{2}}\right) $. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente o estudo de limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando $ x $ está se aproximando de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Olhe para $ e{x{2}} - 1 $. Quando $ x $ está perto de 0, $ x^{2} $ também é bem pequeno. Sabemos que $ e^{y} $ pode ser aproximado por $ 1 + y $ quando $ y $ é pequeno. Então, $ e{x{2}} \approx 1 + x^{2} $, o que significa que $ e{x{2}} - 1 \approx x^{2} $. Isso nos ajuda a simplificar essa parte da expressão.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a outra parte: $ \sin\left(\frac{1}{x^{2}}\right) $. À medida que $ x $ se aproxima de 0, $ \frac{1}{x^{2}} $ cresce sem limites, ou seja, vai para o infinito. A função seno, $ \sin(t) $, oscila entre -1 e 1 para todo $ t $. Então, $ \sin\left(\frac{1}{x^{2}}\right) $ também vai oscilar entre -1 e 1, independentemente de quão grande $ \frac{1}{x^{2}} $ fique.
Passo 4
Agora, juntando as duas partes que simplificamos: $ \left(e{x{2}} - 1\right) \sin\left(\frac{1}{x^{2}}\right) \approx x^{2} \cdot \sin\left(\frac{1}{x^{2}}\right) $. Sabemos que $ \sin\left(\frac{1}{x^{2}}\right) $ está sempre entre -1 e 1, então multiplicando por $ x^{2} $, que está indo para 0, o valor total da expressão também vai para 0. Isso acontece porque $ x^{2} $ está “controlando” a oscilação da função seno, fazendo com que o produto diminua para zero.
Resposta
O limite é igual a 0.