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Esboce o gráfico da seguinte função:
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Esboce o gráfico da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico da função $ f(x) = \frac{x^{2} + x - 9}{-x - a + 1} $. Esse exercício está dentro do conteúdo de Funções Racionais, que são funções onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar identificar pontos importantes como interceptos, assíntotas e comportamento geral da função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouquinho a função para facilitar nosso trabalho. A função dada é:
Podemos reescrever o denominador para ficar mais claro:
Agora, nossa função ficaria:
Passo 3
Vamos encontrar o domínio da função, ou seja, os valores de $ x $ para os quais a função está definida. A função está indefinida quando o denominador é zero:
Então, o domínio é todos os reais exceto $ x = 1 - a $:
Passo 4
Agora, vamos achar os interceptos da função.
Intercepto com o eixo $ y $: Para isso, substituímos $ x = 0 $ na função.
Então, o intercepto com o eixo $ y $ é $ (0, \frac{-9}{1 - a}) $.
Interceptos com o eixo $ x $: São os valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $. Ou seja, quando o numerador é zero:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os interceptos com o eixo $ x $ são $ \left(\frac{-1 + \sqrt{37}}{2}, 0\right) $ e $ \left(\frac{-1 - \sqrt{37}}{2}, 0\right) $.
Passo 5
Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntota vertical: Ocorre onde o denominador é zero, que já encontramos:
Então, temos uma assíntota vertical em $ x = 1 - a $.
Assíntota horizontal ou oblíqua: Vamos analisar o comportamento para $ x $ tendendo ao infinito. Dividimos o numerador pelo denominador.
O grau do numerador é 2 e o do denominador é 1, então teremos uma assíntota oblíqua. Fazemos a divisão:
Portanto, a assíntota oblíqua é:
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas e aos interceptos.
- Próximo à assíntota vertical $ x = 1 - a $, a função tende a $ +\infty $ ou $ -\infty $ dependendo do lado de onde você se aproxima.
- Para valores grandes de $ x $, a função se comporta como a assíntota oblíqua $ y = x - (a - 1) $.
Passo 7
Por fim, vamos esboçar o gráfico usando todas as informações que coletamos:
- Traçamos o intercepto com o eixo $ y $ em $ \left(0, \frac{-9}{1 - a}\right) $.
- Marque os interceptos com o eixo $ x $ em $ \left(\frac{-1 + \sqrt{37}}{2}, 0\right) $ e $ \left(\frac{-1 - \sqrt{37}}{2}, 0\right) $.
- Desenhe a assíntota vertical em $ x = 1 - a $.
- Desenhe a assíntota oblíqua $ y = x - (a - 1) $.
- Esboce a curva da função respeitando o comportamento próximo às assíntotas e passando pelos interceptos.
Resposta
O gráfico da função $ f(x) = \frac{x^{2} + x - 9}{-x - a + 1} $ possui interceptos em $ \left(0, \frac{-9}{1 - a}\right) $ e $ \left(\frac{-1 \pm \sqrt{37}}{2}, 0\right) $, uma assíntota vertical em $ x = 1 - a $ e uma assíntota oblíqua $ y = x - (a - 1) $. Com base nesses elementos, o esboço do gráfico segue essas características, mostrando o comportamento da função próximo às assíntotas e passando pelos interceptos identificados.