Considere que o ar úmido está a 101,3 \mathrm{kPa} \mathrm{e} vamos fazer com umidades relativas de 20 \% e 40 \%.
a) Determine as razões de mistura ( \omega ), kg de vapor por kg de ar seco, para as seguintes temperaturas e umidades relativas.
T\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) U R=20 \% U R=40 \%
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
b) Faça o gráfico das razões de mistura (eixo y ) em função das umidades relativas, colocando no eixo x, as temperaturas. É um gráfico parecido com a carta psicrométrica.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá informações claras. Vou listar tudo para não nos perdermos.
  • Dados do problema:
    • Pressão total do ar: \;101{,}3\\ \mathrm{kPa}.
    • Umidades relativas consideradas: \;20\% e \;40\%.
    • Temperaturas para calcular: \;10^\circ\mathrm{C},15^\circ\mathrm{C},20^\circ\mathrm{C},25^\circ\mathrm{C},30^\circ\mathrm{C},35^\circ\mathrm{C},40^\circ\mathrm{C},45^\circ\mathrm{C},50^\circ\mathrm{C},55^\circ\mathrm{C},60^\circ\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    a) Determinar as razões de mistura \omega (kg de vapor por kg de ar seco) para cada temperatura nas duas umidades relativas.
    b) Fazer o gráfico de \omega (eixo y) em função da temperatura (eixo x), para as duas curvas de umidade relativa ( \;20\% e \;40\%); ou seja, duas curvas \omega vs T, parecidas com a carta psicrométrica.
A partir daqui vou mostrar a teoria necessária, as fórmulas, e depois calcular passo a passo \omega para cada temperatura e para cada \mathrm{UR}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática).
  • Razão de mistura \omega: é a massa de vapor d’água por massa de ar seco. A fórmula que usamos (válida para mistura de gases ideais em pressão total p) é
\omega = 0{,}622\;\frac{p_v}{p - p_v},
onde:
  • \omega está em \mathrm{kg\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco},
  • p_v é a pressão parcial do vapor d’água (em \mathrm{kPa}),
  • p é a pressão total (aqui \;101{,}3\\ \mathrm{kPa}),
  • o fator 0{,}622 vem da razão das massas molares do vapor d’água e do ar seco ( M_v/M_{a}\approx 18{,}016/28{,}964\approx0{,}622).
  • A pressão parcial do vapor d’água p_v para uma dada temperatura T e umidade relativa \varphi (onde \varphi é a umidade relativa em fração, ex.: \varphi=0{,}20 para 20\%) é
p_v = \varphi \; p_{sat}(T),
onde p_{sat}(T) é a pressão de vapor de saturação à temperatura T (pressão do vapor quando o ar está saturado a essa temperatura).
  • Fórmula prática para p_{sat}(T) (Tetens), boa e simples para temperaturas entre 0^\circ\mathrm{C} e 60^\circ\mathrm{C}:
p_{sat}(T)=0{,}61078\;\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad\text{(em kPa, com \(T\) em \(^\circ\mathrm{C}\)).}
Expliquei: essa fórmula dá a pressão de vapor quando o ar está saturado; é uma aproximação muito usada por ser simples e precisa o bastante para engenharia de HVAC.
  • Passo prático para cada temperatura:
    1. Calcular p_{sat}(T) pela fórmula de Tetens.
    2. Calcular p_v=\varphi\,p_{sat}(T) com \varphi=0{,}20 ou \varphi=0{,}40.
    3. Calcular \omega pela fórmula \omega=0{,}622\,p_v/(p-p_v).
Agora vou aplicar isso para cada temperatura, mostrando as contas.

Passo 3

Cálculos para T=10^\circ\mathrm{C}.
  • Calcular p_{sat}:
p_{sat}(10)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 10}{10+237{,}3}\right) =0{,}61078\exp(0{,}6987)\approx1{,}228\\ \mathrm{kPa}.
  • Para \varphi=0{,}20 ( 20\%):
p_v=0{,}20\cdot 1{,}228=0{,}2456\\ \mathrm{kPa},
\omega=0{,}622\frac{0{,}2456}{101{,}3-0{,}2456} =0{,}622\frac{0{,}2456}{101{,}0544}\approx0{,}00151\\ \mathrm{kg/kg}.
  • Para \varphi=0{,}40 ( 40\%):
p_v=0{,}40\cdot 1{,}228=0{,}4912\\ \mathrm{kPa},
\omega=0{,}622\frac{0{,}4912}{101{,}3-0{,}4912} \approx0{,}00303\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 4

Cálculos para T=15^\circ\mathrm{C}.
  • p_{sat}:
p_{sat}(15)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 15}{15+237{,}3}\right) \approx1{,}704\\ \mathrm{kPa}.
  • \varphi=0{,}20:
p_v=0{,}20\cdot 1{,}704=0{,}3408\\ \mathrm{kPa},
\omega\approx0{,}622\frac{0{,}3408}{101{,}3-0{,}3408}=0{,}00210\\ \mathrm{kg/kg}.
  • \varphi=0{,}40:
p_v=0{,}6816\\ \mathrm{kPa},\qquad \omega\approx0{,}00421\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 5

Cálculos para T=20^\circ\mathrm{C}.
  • p_{sat}(20)\approx2{,}339\\ \mathrm{kPa}.
  • \varphi=0{,}20:
p_v=0{,}4678\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}00289\\ \mathrm{kg/kg}.
  • \varphi=0{,}40:
p_v=0{,}9356\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}00580\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 6

Cálculos para T=25^\circ\mathrm{C}.
  • p_{sat}(25)\approx3{,}169\\ \mathrm{kPa}.
  • \varphi=0{,}20:
p_v=0{,}6338\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}00391\\ \mathrm{kg/kg}.
  • \varphi=0{,}40:
p_v=1{,}2676\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}00788\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 7

Cálculos para T=30^\circ\mathrm{C}.
  • p_{sat}(30)\approx4{,}240\\ \mathrm{kPa}.
  • \varphi=0{,}20:
p_v=0{,}8480\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}00525\\ \mathrm{kg/kg}.
  • \varphi=0{,}40:
p_v=1{,}6960\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}01058\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 8

Cálculos para T=35^\circ\mathrm{C}.
  • p_{sat}(35)\approx5{,}635\\ \mathrm{kPa}.
  • \varphi=0{,}20:
p_v=1{,}1270\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}00699\\ \mathrm{kg/kg}.
  • \varphi=0{,}40:
p_v=2{,}2540\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}01414\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 9

Cálculos para T=40^\circ\mathrm{C}.
  • p_{sat}(40)\approx7{,}337\\ \mathrm{kPa}.
  • \varphi=0{,}20:
p_v=1{,}4674\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}00915\\ \mathrm{kg/kg}.
  • \varphi=0{,}40:
p_v=2{,}9348\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}01856\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 10

Cálculos para T=45^\circ\mathrm{C}.
  • p_{sat}(45)\approx9{,}581\\ \mathrm{kPa}.
  • \varphi=0{,}20:
p_v=1{,}9162\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}01199\\ \mathrm{kg/kg}.
  • \varphi=0{,}40:
p_v=3{,}8324\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}02445\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 11

Cálculos para T=50^\circ\mathrm{C}.
  • p_{sat}(50)\approx12{,}33\\ \mathrm{kPa}.
  • \varphi=0{,}20:
p_v=2{,}466\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}0155\\ \mathrm{kg/kg}.
  • \varphi=0{,}40:
p_v=4{,}932\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}0318\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 12

Cálculos para T=55^\circ\mathrm{C}.
  • p_{sat}(55)\approx15{,}75\\ \mathrm{kPa}.
  • \varphi=0{,}20:
p_v=3{,}15\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}01995\\ \mathrm{kg/kg}.
  • \varphi=0{,}40:
p_v=6{,}30\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}04120\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 13

Cálculos para T=60^\circ\mathrm{C}.
  • p_{sat}(60)\approx19{,}98\\ \mathrm{kPa}.
  • \varphi=0{,}20:
p_v=3{,}996\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}0256\\ \mathrm{kg/kg}.
  • \varphi=0{,}40:
p_v=7{,}992\\ \mathrm{kPa},\quad \omega\approx0{,}0533\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 14

Como fazer o gráfico pedido (explicação prática para que você consiga desenhar na prova ou no computador):
  • No eixo x coloque a temperatura T em ^\circ\mathrm{C} de 10 a 60 (cada 5^\circ\mathrm{C} um ponto). No eixo y coloque \omega em \mathrm{kg/kg}.
  • Plote duas curvas: uma para \varphi=0{,}20 usando os valores de \omega calculados e outra para \varphi=0{,}40. Ligue os pontos suavemente — as curvas crescem monotonicamente com T (porque p_{sat} cresce com T).
  • Se estiver fazendo à mão, marque o eixo y até, digamos, 0{,}055\\ \mathrm{kg/kg} e note que a curva de \varphi=0{,}40 fica aproximadamente o dobro da de \varphi=0{,}20 para temperaturas moderadas (isto é intuitivo porque \omega é aproximadamente proporcional a \varphi quando p_v\ll p).
  • Se fizer em Excel/LibreOffice: coloque T numa coluna e as duas colunas de \omega ao lado, e faça um gráfico XY (linha) com as duas séries.

Resposta

a) Valores de \omega ( \mathrm{kg\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco}) para cada T:
T=10^\circ\mathrm{C}:\;\omega_{20\%}=0{,}00151,\;\omega_{40\%}=0{,}00303
T=15^\circ\mathrm{C}:\;\omega_{20\%}=0{,}00210,\;\omega_{40\%}=0{,}00421
T=20^\circ\mathrm{C}:\;\omega_{20\%}=0{,}00289,\;\omega_{40\%}=0{,}00580
T=25^\circ\mathrm{C}:\;\omega_{20\%}=0{,}00391,\;\omega_{40\%}=0{,}00788
T=30^\circ\mathrm{C}:\;\omega_{20\%}=0{,}00525,\;\omega_{40\%}=0{,}01058
T=35^\circ\mathrm{C}:\;\omega_{20\%}=0{,}00699,\;\omega_{40\%}=0{,}01414
T=40^\circ\mathrm{C}:\;\omega_{20\%}=0{,}00915,\;\omega_{40\%}=0{,}01856
T=45^\circ\mathrm{C}:\;\omega_{20\%}=0{,}01199,\;\omega_{40\%}=0{,}02445
T=50^\circ\mathrm{C}:\;\omega_{20\%}=0{,}01550,\;\omega_{40\%}=0{,}03179
T=55^\circ\mathrm{C}:\;\omega_{20\%}=0{,}01995,\;\omega_{40\%}=0{,}04120
T=60^\circ\mathrm{C}:\;\omega_{20\%}=0{,}0256,\;\omega_{40\%}=0{,}0533
b) Gráfico: plote \omega no eixo y versus T no eixo x usando as duas séries acima ( \mathrm{UR}=20\% e \mathrm{UR}=40\%). As duas curvas crescem com T; a curva de \mathrm{UR}=40\% fica aproximadamente o dobro da de \mathrm{UR}=20\% para p_v\ll p.

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