Em um saturador adiabático, o ar úmido entra a 33^{\circ} \mathrm{C}, com umidade relativa de 30 \% e com uma vazão mássica de 32 \mathrm{~kg} / \mathrm{min} e sai com umidade relativa de 100 \%. A reposição de líquido saturado é feita à mesma temperatura da saída. Todo processo ocorre a pressão constante de 101,3 \mathrm{kPa} e em regime permanente.
a) Determine a temperatura de saturação adiabática em { }^{\circ} \mathrm{C}.
b) Calcule a vazão mássica de água de reposição, em kg/min.
c) Qual é a razão de mistura na saída, em kg de vapor/kg de ar seco?
d) Qual é a razão de mistura na entrada, em kg de vapor/kg de ar seco?
e) Qual é a vazão do ar úmido, em kg/min, na saída?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede várias grandezas. Vou listar tudo bem claro para nos orientarmos.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Temperatura de entrada do ar úmido: } T_{\text{in}} = 33^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Umidade relativa de entrada: } \varphi_{\text{in}} = 30\% = 0{,}30,\\\ &\text{Vazão mássica do ar úmido de entrada (massa total ar+vapor): } \dot m_{\text{ua,in}} = 32\\ \mathrm{kg/min},\\\ &\text{Pressão total constante: } P = 101{,}3\\ \mathrm{kPa},\\\ &\text{Saída com umidade relativa } \varphi_{\text{out}} = 100\% \text{ (ar saturado)},\\\ &\text{A reposição de líquido é feita à mesma temperatura da saída (o líquido tem } T_{\text{out}}\text{).}\\\ &\text{Processo adiabático e em regime permanente.} \end{aligned}úãáúãíçãíéàííá
O que é pedido:
a) Determinar a temperatura de saturação adiabática T_{\text{out}} em ^\circ\mathrm{C}.
b) Calcular a vazão mássica de água de reposição (kg/min).
c) Razão de mistura na saída w_{\text{out}}= kg vapor / kg ar seco.
d) Razão de mistura na entrada w_{\text{in}}= kg vapor / kg ar seco.
e) Vazão do ar úmido na saída (kg/min).

Passo 2

Vamos definir e explicar as fórmulas que vamos usar (muito didático, passo-a-passo):
  1. Razão de mistura (ou conteúdo de vapor) w em kg de vapor por kg de ar seco é dada por
w = 0{,}622\;\frac{p_v}{P - p_v},
onde p_v é a pressão parcial do vapor d’água (kPa) e P é a pressão total (kPa). Explicação: 0{,}622 é a razão das constantes dos gases ( M_{H_2O}/M_{air}). A fórmula vem da lei dos gases ideais aplicada a cada componente.
  1. A pressão de saturação do vapor d’água p_{vs}(T) (kPa) depende da temperatura. Vou usar a equação de Tetens (fórmula prática bem aceita) para obter p_{vs} a uma temperatura T (em ^\circ\mathrm{C}):
p_{vs}(T) = 0{,}61078\;\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right).
Explicação: essa fórmula dá p_{vs} em kPa e é suficientemente precisa para engenharia quando T está em graus Celsius.
  1. Entalpia do ar úmido por kg de ar seco (referida a 0^\circ\mathrm{C}) utiliza a forma prática:
h = 1{,}006\,T + w\,(2501 + 1{,}86\,T)\quad\text{(kJ/kg de ar seco),}
com T em ^\circ\mathrm{C}. Explicação: 1{,}006 kJ/kgK é o calor específico do ar seco, 2501 kJ/kg é a entalpia (aprox.) de vaporização a 0^\circ\mathrm{C} e 1{,}86 kJ/kgK é o calor específico do vapor. Essa forma é padrão em psicrometria.
  1. Balanço de massa (por kg de ar seco): se w_{\text{in}} é a razão de mistura na entrada e w_{\text{out}} na saída, então a água adicionada por kg de ar seco é \Delta w = w_{\text{out}} - w_{\text{in}}.
  2. Balanço de energia (adiabático, por kg de ar seco): a entalpia do ar úmido de entrada mais a entalpia do líquido adicionado (o líquido está a T_{\text{out}}) é igual à entalpia do ar úmido saturado na saída. Em forma prática, escrevemos:
h_{\text{in}} + \Delta w\;c_{p,\ell}\;T_{\text{out}} = h_{\text{out}},
onde c_{p,\ell}\approx 4{,}186\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} é o calor específico da água líquida. Explicação: adicionamos \Delta w kg de água líquida por kg de ar seco; a entalpia dessa água (referida a 0°C) é c_{p,\ell}T_{\text{out}}.
Observação prática: w_{\text{out}} depende de T_{\text{out}} via p_{vs}(T_{\text{out}}). Portanto a equação de energia é uma equação implícita em T_{\text{out}} e precisa de solução numérica (iteração). Vou mostrar a iteração explicitamente e com números arredondados razoavelmente para que você consiga reproduzir na prova se necessário.

Passo 3

Calcular w_{\text{in}} (entrada) usando os dados de entrada.
  1. Primeiro calculamos a pressão de saturação a T_{\text{in}}=33^\circ\mathrm{C} usando Tetens:
p_{vs}(33) = 0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 33}{33+237{,}3}\right).
Usando a fórmula (cálculo numérico) obtemos
p_{vs}(33)\approx 5{,}033\\ \mathrm{kPa}.
  1. A pressão parcial do vapor na entrada é \,p_{v,\text{in}}=\varphi_{\text{in}}\,p_{vs}(33)=0{,}30\times 5{,}033\approx 1{,}510\\ \mathrm{kPa}.
  2. Agora a razão de mistura na entrada:
w_{\text{in}} = 0{,}622\;\frac{1{,}510}{101{,}3 - 1{,}510} \approx 0{,}009414\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.
Expliquei cada etapa: usamos Tetens para p_{vs}, multiplicamos pela umidade relativa para achar p_v, e então a fórmula de w.

Passo 4

Escrever o balanço de energia por kg de ar seco e a equação a resolver.
A entalpia de entrada por kg de ar seco é
h_{\text{in}} = 1{,}006\,T_{\text{in}} + w_{\text{in}}\,(2501 + 1{,}86\,T_{\text{in}}).
A entalpia de saída (ar saturado a T_{\text{out}}) é
h_{\text{out}} = 1{,}006\,T_{\text{out}} + w_{\text{out}}\,(2501 + 1{,}86\,T_{\text{out}}),
onde
w_{\text{out}} = 0{,}622\;\frac{p_{vs}(T_{\text{out}})}{P - p_{vs}(T_{\text{out}})}.
O balanço de energia adiabático (por kg de ar seco), incluindo a entalpia da água líquida adicionada \Delta w = w_{\text{out}}-w_{\text{in}}, é
h_{\text{in}} + (w_{\text{out}}-w_{\text{in}})\,c_{p,\ell}\,T_{\text{out}} = h_{\text{out}}.
Substituindo h_{\text{in}} e h_{\text{out}} resulta numa equação que depende apenas de T_{\text{out}}. Vamos calcular numericamente.

Passo 5

Calcular numericamente h_{\text{in}} (valor numérico que será referência nas iterações).
Temos T_{\text{in}}=33^\circ\mathrm{C} e w_{\text{in}}=0{,}009414. Portanto
h_{\text{in}} = 1{,}006\cdot 33 + 0{,}009414\,(2501 + 1{,}86\cdot 33).
Calcule por partes:
1{,}006\cdot 33 = 33{,}198.
1{,}86\cdot 33 = 61{,}38,\quad 2501 + 61{,}38 = 2562{,}38.
0{,}009414\cdot 2562{,}38 \approx 24{,}121.
Logo
h_{\text{in}} \approx 33{,}198 + 24{,}121 = 57{,}319\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.

Passo 6

Resolver numericamente para T_{\text{out}} por iteração (mostro os passos da iteração para você entender como acertar o valor).
Vou testar valores de T_{\text{out}} e avaliar a função
F(T_{\text{out}}) = h_{\text{in}} + (w_{\text{out}}-w_{\text{in}})\,c_{p,\ell}\,T_{\text{out}} - h_{\text{out}}.
Queremos F(T_{\text{out}})=0.
Testes (apresento apenas os pontos chaves da iteração):
  • Teste T_{\text{out}}=20{,}00^\circ\mathrm{C}:
    • p_{vs}(20)\approx 2{,}338\\ \mathrm{kPa} (Tetens),
    • w_{\text{out}}\approx 0{,}01469,
    • h_{\text{out}}\approx 57{,}403\\ \mathrm{kJ/kg},
    • \Delta w = 0{,}01469 - 0{,}009414 = 0{,}005276,
    • (\Delta w)c_{p,\ell}T_{\text{out}} \approx 0{,}4419\\ \mathrm{kJ/kg},
    • F(20)\approx 57{,}319 + 0{,}4419 - 57{,}403 = +0{,}358 (positivo).
  • Teste T_{\text{out}}=20{,}50^\circ\mathrm{C}:
    • p_{vs}(20{,}5)\approx 2{,}411\\ \mathrm{kPa},
    • w_{\text{out}}\approx 0{,}01515,
    • h_{\text{out}}\approx 59{,}083\\ \mathrm{kJ/kg},
    • \Delta w\approx 0{,}005736,
    • (\Delta w)c_{p,\ell}T_{\text{out}} \approx 0{,}4923\\ \mathrm{kJ/kg},
    • F(20{,}5)\approx 57{,}319 + 0{,}4923 - 59{,}083 = -1{,}271 (negativo).
Os sinais mostram que a raiz está entre 20{,}0^\circ\mathrm{C} e 20{,}5^\circ\mathrm{C}. Faço uma interpolação/iterações mais finas:
  • Teste T_{\text{out}}=20{,}06^\circ\mathrm{C} F\approx +0{,}059.
  • Teste T_{\text{out}}=20{,}10^\circ\mathrm{C} F\approx -0{,}080.
Interpolando linearmente entre 20{,}06 (F≈+0,059) e 20{,}10 (F≈−0,080) dá raiz aproximada em
T_{\text{out}}\approx 20{,}08^\circ\mathrm{C}.
Portanto a temperatura de saturação adiabática (temperatura de saída saturada) é
T_{\text{out}}\approx 20{,}08^\circ\mathrm{C}.
(Dica: esse T_{\text{out}} corresponde ao chamado “wet-bulb” do ar de entrada num saturador adiabático.)

Passo 7

Calcular w_{\text{out}} com T_{\text{out}}=20{,}08^\circ\mathrm{C}.
  1. Saturação a 20{,}08^\circ\mathrm{C} (Tetens):
p_{vs}(20{,}08)\approx 2{,}3512\\ \mathrm{kPa}.
  1. Razão de mistura na saída:
w_{\text{out}} = 0{,}622\;\frac{2{,}3512}{101{,}3 - 2{,}3512} \approx 0{,}014783\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.

Passo 8

Calcular a vazão mássica de ar seco (por minuto) e a vazão de água adicionada.
  1. A vazão mássica total de ar úmido de entrada é \dot m_{\text{ua,in}} = 32\\ \mathrm{kg/min}. Essa massa é ar seco + vapor: \dot m_{\text{ua,in}} = \dot m_{\text{a,dry}}\,(1 + w_{\text{in}}). Então a vazão de ar seco (kg ar seco/min) é
\dot m_{\text{a,dry}} = \frac{\dot m_{\text{ua,in}}}{1 + w_{\text{in}}} = \frac{32}{1 + 0{,}009414} \approx 31{,}699\\ \mathrm{kg\\ ar\\ seco/min}.
Explicação: dividimos a massa total pelo fator 1+w para obter a massa de ar seco.
  1. A água adicionada por minuto é
\dot m_{\text{água}} = \dot m_{\text{a,dry}}\;(w_{\text{out}} - w_{\text{in}}).á
Com os valores:
\Delta w = w_{\text{out}} - w_{\text{in}} \approx 0{,}014783 - 0{,}009414 = 0{,}005369\\ \mathrm{kg/kg\\ ar\\ seco}.
Logo
\dot m_{\text{água}} \approx 31{,}699\cdot 0{,}005369 \approx 0{,}1703\\ \mathrm{kg/min}.á

Passo 9

Calcular a vazão do ar úmido na saída (massa total ar+vapor por minuto).
A vazão mássica do ar úmido na saída é
\dot m_{\text{ua,out}} = \dot m_{\text{a,dry}}\,(1 + w_{\text{out}}) = 31{,}699\cdot(1 + 0{,}014783) \approx 32{,}169\\ \mathrm{kg/min}.
Verificação simples: \dot m_{\text{ua,out}} = \dot m_{\text{ua,in}} + \dot m_{\text{água}}\approx 32 + 0{,}1703 = 32{,}1703\\ \mathrm{kg/min}á (pequenas diferenças de arredondamento), consistente.

Passo 10

Resumo numérico das quantidades calculadas (preparação para resposta final):
  • T_{\text{out}}\approx 20{,}08^\circ\mathrm{C}.
  • \dot m_{\text{água}}\approx 0{,}1703\\ \mathrm{kg/min}.á
  • w_{\text{out}}\approx 0{,}014783\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.
  • w_{\text{in}}\approx 0{,}009414\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.
  • \dot m_{\text{ua,out}}\approx 32{,}169\\ \mathrm{kg/min}.

Resposta

20{,}08^\circ\mathrm{C}
0{,}1703\\ \mathrm{kg/min}
0{,}014783\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}
0{,}009414\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}
32{,}169\\ \mathrm{kg/min}

Exercícios relacionados