- Uma bala de canhão e uma bola de gude rolam para baixo suavemente, a partir do repouso, em uma rampa. (a) A bala de canhão chega à base da rampa antes, ao mesmo tempo, ou depois da bola de gude? (b) Ao chegar à base da rampa, a energia cinética de translação da bala de canhão é maior, igual, ou menor que a da bola de gude?
Passo 1
O enunciado diz: uma bala de canhão e uma bola de gude (duas bolas) rolam para baixo, suavemente, a partir do repouso, numa mesma rampa. Pergunta (a): a bala chega à base antes, ao mesmo tempo, ou depois da bola de gude? Pergunta (b): ao chegar à base, a energia cinética de translação da bala de canhão é maior, igual, ou menor que a da bola de gude?\n\nInformações relevantes fornecidas (lista clara):\n1. As duas são bolas (ou seja, objetos aproximadamente esféricos) e rolam sem deslizar (rolamento sem escorregamento).\n2. Ambas partem do repouso e descem a mesma rampa (mesma altura inicial em relação à base).\n3. Não há menção a arremesso ou diferenças iniciais — assumimos que começam do mesmo ponto, mesma altura e que a única força externa relevante é a gravidade (e a força de atrito estático que permite o rolamento, mas não faz trabalho útil).\n4. Não foi dado nenhum número (altura, massa, raio), então trabalharíamos com expressões gerais e propriedades que dependem apenas da forma (esfera) e da massa.\n\nA resolução real começa no próximo passo.
Passo 2
Entender o que acontece fisicamente: forças e torques\n\nQuando um objeto rola sem deslizar por uma rampa inclinada com ângulo
, as forças principais ao longo da direção do movimento são:\n- a componente tangencial do peso:
, que tende a puxar o corpo para baixo;\n- a força de atrito estático
, que age para cima no ponto de contato (impede escorregamento) e produz torque que faz o corpo girar.\n\nEquações de movimento (tradução e rotação):\n1. Equação de Newton na direção do plano:
\nAqui
é a massa do objeto,
sua aceleração do centro de massa ao longo da rampa.\n2. Equação do giro (torque em relação ao centro):
\nAqui
é o raio da bola,
o momento de inércia da bola em torno do seu eixo que passa pelo centro, e
a aceleração angular.\n\nComo é rolamento sem escorregar, a relação entre aceleração linear e angular é:
Passo 3
Resolver as equações para achar a aceleração
\n\nSubstituímos
na equação do torque:
\nAgora colocamos isso na equação de Newton:
\nRearranjando para isolar
:
\n
\nPortanto
\n\nComentário didático: a forma
mostra que a aceleração depende apenas do fator adimensional
, que é característico da forma geométrica do corpo (por exemplo, esfera sólida, cilindro sólido, anel, etc.). Para objetos de mesma forma (aqui: esferas sólidas), esse fator é igual para ambos, então
não depende da massa nem do tamanho, apenas de
e da forma.
Passo 4
Aplicar ao caso concreto das esferas (bala de canhão e bola de gude)\n\nPara uma esfera sólida o momento de inércia em torno do centro é
. Então o fator adimensional é
.\nSubstituindo em
:
\n\nInterpretação clara: esse valor de
é o mesmo para qualquer esfera sólida, independentemente da massa
ou do raio
. Logo, se a bala de canhão e a bola de gude são ambas esferas sólidas e começam na mesma altura, ambas experimentam a mesma aceleração ao longo da rampa.
Passo 5
Concluir a parte (a) — quem chega primeiro?\n\nSe duas partículas (ou corpos) têm a mesma aceleração constante e partem do repouso da mesma posição inicial, chegam ao fim do trajeto no mesmo tempo. Aqui as duas esferas têm a mesma aceleração
e partem do repouso da mesma altura, portanto chegam à base ao mesmo tempo.\n\nBreve reforço: massa não entra na expressão final porque o termo rotacional
cresce proporcionalmente a
(para esferas sólidas
), fazendo com que
cancele — por isso corpos de massas diferentes, mas mesma forma, têm a mesma aceleração em rolamento sem escorregamento.
Passo 6
Energia e comparação das energias cinéticas (parte (b)) — método energético e cálculo da energia de translação\n\nUsamos conservação de energia mecânica (sem trabalho dissipativo): a energia potencial inicial
transforma-se em energia cinética de translação mais energia cinética de rotação ao chegar à base:\n
\nCom rolamento sem deslizar,
. Substituindo:
\nIsolando a energia cinética de translação
:
\n\nPara esfera sólida, com
, temos\n
Passo 7
Interpretação e conclusão para a parte (b)\n\nObservações importantes e fáceis de lembrar:\n- A velocidade final
na base é a mesma para as duas esferas (porque depende só de
e do fator
, que é igual para esferas sólidas). Você pode verificar isolando
na equação da energia:
, que para esferas dá o mesmo valor para ambas.\n- Porém a energia cinética de translação é
, ou pela expressão que achamos
. Note que isto é proporcional à massa
.\n\nConclusão direta para (b): como a bala de canhão tem massa maior que a bola de gude, e
é proporcional a
, a energia cinética de translação da bala de canhão será maior do que a da bola de gude ao chegarem à base (mesmo que as velocidades sejam iguais).
Resposta
(a) Ao mesmo tempo.
(b) A energia cinética de translação da bala de canhão é maior que a da bola de gude.
(b) A energia cinética de translação da bala de canhão é maior que a da bola de gude.