1. Uma bala de canhão e uma bola de gude rolam para baixo suavemente, a partir do repouso, em uma rampa. (a) A bala de canhão chega à base da rampa antes, ao mesmo tempo, ou depois da bola de gude? (b) Ao chegar à base da rampa, a energia cinética de translação da bala de canhão é maior, igual, ou menor que a da bola de gude?

Passo 1

O enunciado diz: uma bala de canhão e uma bola de gude (duas bolas) rolam para baixo, suavemente, a partir do repouso, numa mesma rampa. Pergunta (a): a bala chega à base antes, ao mesmo tempo, ou depois da bola de gude? Pergunta (b): ao chegar à base, a energia cinética de translação da bala de canhão é maior, igual, ou menor que a da bola de gude?\n\nInformações relevantes fornecidas (lista clara):\n1. As duas são bolas (ou seja, objetos aproximadamente esféricos) e rolam sem deslizar (rolamento sem escorregamento).\n2. Ambas partem do repouso e descem a mesma rampa (mesma altura inicial em relação à base).\n3. Não há menção a arremesso ou diferenças iniciais — assumimos que começam do mesmo ponto, mesma altura e que a única força externa relevante é a gravidade (e a força de atrito estático que permite o rolamento, mas não faz trabalho útil).\n4. Não foi dado nenhum número (altura, massa, raio), então trabalharíamos com expressões gerais e propriedades que dependem apenas da forma (esfera) e da massa.\n\nA resolução real começa no próximo passo.

Passo 2

Entender o que acontece fisicamente: forças e torques\n\nQuando um objeto rola sem deslizar por uma rampa inclinada com ângulo \theta, as forças principais ao longo da direção do movimento são:\n- a componente tangencial do peso: \;mg\sin\theta, que tende a puxar o corpo para baixo;\n- a força de atrito estático \;f, que age para cima no ponto de contato (impede escorregamento) e produz torque que faz o corpo girar.\n\nEquações de movimento (tradução e rotação):\n1. Equação de Newton na direção do plano: \;m a = mg\sin\theta - f.\nAqui \;m é a massa do objeto, \;a sua aceleração do centro de massa ao longo da rampa.\n2. Equação do giro (torque em relação ao centro): \;f r = I \alpha.\nAqui \;r é o raio da bola, \;I o momento de inércia da bola em torno do seu eixo que passa pelo centro, e \;\alpha a aceleração angular.\n\nComo é rolamento sem escorregar, a relação entre aceleração linear e angular é: \;\alpha = \dfrac{a}{r}.

Passo 3

Resolver as equações para achar a aceleração a\n\nSubstituímos \;\alpha = a/r na equação do torque: \;f r = I\frac{a}{r}\quad\Rightarrow\quad f = \frac{I}{r^2}\,a.\nAgora colocamos isso na equação de Newton: \;m a = mg\sin\theta - f = mg\sin\theta - \frac{I}{r^2}a.\nRearranjando para isolar a: \;m a + \frac{I}{r^2}a = mg\sin\theta\n \;a\left(m+\frac{I}{r^2}\right)=mg\sin\theta\nPortanto \;a = \frac{mg\sin\theta}{m + \dfrac{I}{r^2}} = \frac{g\sin\theta}{1 + \dfrac{I}{m r^2}}.\n\nComentário didático: a forma \;1 + \dfrac{I}{m r^2} mostra que a aceleração depende apenas do fator adimensional \dfrac{I}{m r^2}, que é característico da forma geométrica do corpo (por exemplo, esfera sólida, cilindro sólido, anel, etc.). Para objetos de mesma forma (aqui: esferas sólidas), esse fator é igual para ambos, então a não depende da massa nem do tamanho, apenas de \theta e da forma.

Passo 4

Aplicar ao caso concreto das esferas (bala de canhão e bola de gude)\n\nPara uma esfera sólida o momento de inércia em torno do centro é \;I = \dfrac{2}{5} m r^2. Então o fator adimensional é \;\dfrac{I}{m r^2} = \dfrac{2}{5}.\nSubstituindo em \;a: \;a = \frac{g\sin\theta}{1 + 2/5} = \frac{g\sin\theta}{7/5} = \frac{5}{7}\,g\sin\theta.\n\nInterpretação clara: esse valor de a é o mesmo para qualquer esfera sólida, independentemente da massa m ou do raio r. Logo, se a bala de canhão e a bola de gude são ambas esferas sólidas e começam na mesma altura, ambas experimentam a mesma aceleração ao longo da rampa.

Passo 5

Concluir a parte (a) — quem chega primeiro?\n\nSe duas partículas (ou corpos) têm a mesma aceleração constante e partem do repouso da mesma posição inicial, chegam ao fim do trajeto no mesmo tempo. Aqui as duas esferas têm a mesma aceleração \;a=\dfrac{5}{7}g\sin\theta e partem do repouso da mesma altura, portanto chegam à base ao mesmo tempo.\n\nBreve reforço: massa não entra na expressão final porque o termo rotacional \dfrac{I}{r^2} cresce proporcionalmente a m (para esferas sólidas I\propto m r^2), fazendo com que m cancele — por isso corpos de massas diferentes, mas mesma forma, têm a mesma aceleração em rolamento sem escorregamento.

Passo 6

Energia e comparação das energias cinéticas (parte (b)) — método energético e cálculo da energia de translação\n\nUsamos conservação de energia mecânica (sem trabalho dissipativo): a energia potencial inicial \;mgh transforma-se em energia cinética de translação mais energia cinética de rotação ao chegar à base:\n \;m g h = \tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{2} I \omega^2.\nCom rolamento sem deslizar, \;\omega = v/r. Substituindo: \;m g h = \tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{2} I \frac{v^2}{r^2} = \tfrac{1}{2} m v^2\left(1 + \frac{I}{m r^2}\right).\nIsolando a energia cinética de translação \;K_{\text{trans}} = \tfrac{1}{2} m v^2: \;K_{\text{trans}} = \frac{m g h}{1 + \dfrac{I}{m r^2}}.\n\nPara esfera sólida, com \;\dfrac{I}{m r^2}=\dfrac{2}{5}, temos\n \;K_{\text{trans}} = \frac{m g h}{1 + 2/5} = \frac{m g h}{7/5} = \frac{5}{7}\,m g h.

Passo 7

Interpretação e conclusão para a parte (b)\n\nObservações importantes e fáceis de lembrar:\n- A velocidade final \;v na base é a mesma para as duas esferas (porque depende só de g, h e do fator \dfrac{I}{m r^2}, que é igual para esferas sólidas). Você pode verificar isolando v^2 na equação da energia: \;v^2 = \dfrac{2 g h}{1 + I/(m r^2)}, que para esferas dá o mesmo valor para ambas.\n- Porém a energia cinética de translação é \;K_{\text{trans}} = \tfrac{1}{2} m v^2, ou pela expressão que achamos \;K_{\text{trans}} = \dfrac{5}{7} m g h. Note que isto é proporcional à massa m.\n\nConclusão direta para (b): como a bala de canhão tem massa maior que a bola de gude, e \;K_{\text{trans}} é proporcional a m, a energia cinética de translação da bala de canhão será maior do que a da bola de gude ao chegarem à base (mesmo que as velocidades sejam iguais).

Resposta

(a) Ao mesmo tempo.
(b) A energia cinética de translação da bala de canhão é maior que a da bola de gude.

Exercícios relacionados