Questão 03: Um sólido esférico não condutor de raio R tem uma distribuição uniforme de cargas elétricas positivas, cuja densidade volumétrica é \rho. Calcule:
a)A intensidade do campo elétrico no interior da esfera ( \mathbf{r}<\mathbf{R} ).
b)O potencial elétrico no interior da esfera, supondo \mathbf{V}=\mathbf{0} no centro da esfera.

Passo 1

O enunciado dá um sólido esférico não condutor de raio R com carga distribuída uniformemente no volume, de densidade volumétrica \rho (positiva). Pede duas coisas:
a) A intensidade do campo elétrico no interior da esfera, isto é para r<R.
b) O potencial elétrico no interior da esfera, isto que para r<R, supondo a condição de contorno \displaystyle V(0)=0 (o potencial no centro é zero).
Informações relevantes fornecidas:
\;R — raio da esfera;
\;\rho — densidade volumétrica de carga (constante);
cargas positivas e distribuição uniforme no volume;
condição adicional para o potencial: \displaystyle V(0)=0.
Também usaremos a constante \displaystyle \varepsilon_0 (permissividade do vácuo).

Passo 2

Razão física e escolha da superfície de integração: por simetria esférica a campo elétrico em qualquer ponto a uma distância r do centro depende só de r e aponta radialmente para fora. Então é natural aplicar a Lei de Gauss usando uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio r (com r<R). Vou explicar a Lei de Gauss com calma.
A Lei de Gauss diz que a integral de superfície do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga elétrica total dentro dessa superfície dividida por \varepsilon_0:
\oint_{\text{superf}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Aqui \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o produto escalar entre o campo elétrico e o elemento de área (vetor normal à superfície), e Q_{\text{int}} é a carga total contida no volume limitado pela superfície. Para a esfera gaussiana, \mathbf{E} é radial e tem mesma magnitude em toda a superfície, o que simplifica muito a integral.
Agora calculamos a carga contida dentro do raio r. Como a densidade volumétrica é \rho (constante), a carga dentro da esfera de raio r é:
Q_{\text{int}}=\rho \times (\text{volume da esfera de raio } r)=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}.

Passo 3

Avaliação da integral de superfície e resolução para \mathbf{E}.
A integral de superfície para a esfera gaussiana é simplesmente a magnitude do campo vezes a área da esfera:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2},
pois \mathbf{E} é paralelo a d\mathbf{A} e constante em módulo na superfície de raio r.
Usando a Lei de Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\frac{\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}}{\varepsilon_0}.
Agora isolamos E(r). Cancelando os fatores comuns obtém-se
E(r)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}.
Direção: como as cargas são positivas, o campo aponta para fora (radialmente). Em forma vetorial:
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\,\hat{r},\qquad (r<R).
Observação útil para a prova: se você preferir escrever em função da carga total \displaystyle Q=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}, então
\mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{r}{R^{3}}\,\hat{r},\qquad (r<R).
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é direta com \rho.

Passo 4

Relação entre campo elétrico e potencial; vamos aprender a usar isso para obter V(r).
Definição: o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico por
\mathbf{E}=-\nabla V.
Em simetria esférica, só existe componente radial, então isso vira
E_{r}(r)=-\frac{dV}{dr}.
Isto significa que o potencial varia com r segundo \displaystyle \frac{dV}{dr}=-E_{r}(r). Para obter V(r) usamos integração. Como foi dada a condição \displaystyle V(0)=0, podemos escrever:
V(r)-V(0)=-\int_{0}^{r} E_{r}(r')\,dr'.
Como V(0)=0, temos
V(r)=-\int_{0}^{r} E_{r}(r')\,dr'.

Passo 5

Integração usando E_{r}(r')=\dfrac{\rho r'}{3\varepsilon_0}.
Substituindo na integral:
V(r)=-\int_{0}^{r} \frac{\rho r'}{3\varepsilon_0}\,dr' =-\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\int_{0}^{r} r'\,dr'.
Calculamos a integral elementar:
\int_{0}^{r} r'\,dr'=\left.\frac{r'^{2}}{2}\right|_{0}^{r}=\frac{r^{2}}{2}.
Logo
V(r)=-\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\cdot\frac{r^{2}}{2}=-\frac{\rho r^{2}}{6\varepsilon_0}.
Portanto o potencial no interior (com a condição V(0)=0) é negativo para r>0, o que faz sentido físico: se colocamos referência zero no centro, ao sair do centro o potencial decresce (cargas positivas produzem potencial maior perto do centro do que longe, então com V(0)=0 os outros pontos ficam negativos).
Se quiser, em termos da carga total Q podemos escrever usando \rho=\dfrac{3Q}{4\pi R^{3}}:
V(r)=-\frac{Q\,r^{2}}{8\pi\varepsilon_0 R^{3}}.

Passo 6

Resumo rápido das fórmulas e dicas para prova:
  • Para esferas com distribuição volumétrica uniforme, use sempre Gauss com superfície esférica concêntrica.
  • Lembre-se que Q_{\text{int}}=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3} quando integrar até um raio r.
  • Para passar do campo ao potencial no caso radial, use dV/dr=-E_{r} e escolha bem a condição de contorno (aqui foi V(0)=0).
  • Verifique limites: em r\to 0 temos \mathbf{E}\to 0 (pois E\propto r), e V(0)=0 por hipótese.

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}\,\hat{r}, para r<R.\n
b) \displaystyle V(r)=-\frac{\rho\,r^{2}}{6\varepsilon_0}, para r<R.

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