Considere uma única partícula mineral inerte, porosa, esférica. Os poros no interior da partícula são preenchidos com água líquida (espécie B). Estamos interessados em analisar a difusão molecular do contaminante benzeno \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6},
espécie A , dentro dos poros preenchidos com água da partícula. O diâmetro médio dos poros é de 150 nm e a fração vazia (porosidade) é de 0,40 .
O soluto de benzeno não adsorve nas superfícies internas dos poros. O benzeno é muito pouco solúvel em água e tem um diâmetro molecular de 0,15 \mathrm{~nm}. O processo é isotérmico à 298 K . A concentração de benzeno dissolvido na água ao redor da partícula, c_{A o}, é constante com o tempo. O volume crítico \left(V_{c}\right) de benzeno é de 259 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{gmol}. O coeficiente de difusão efetiva do benzeno dentro da partícula porosa foi calculado no Problema 24.25.
Começando com a equação diferencial geral para transferência de massa de benzeno, desenvolva um modelo diferencial para descrever o perfil de concentração de benzeno, espécie A, dentro da partícula mineral inerte, porosa e esférica. Estabeleça hipóteses/condições iniciais razoáveis para o processo.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula esférica porosa de raio R, porosidade \varepsilon=0{,}40, cujos poros estão preenchidos com água e por onde o benzeno (espécie A) difunde. A concentração de benzeno na fase externa junto à superfície da partícula é constante e igual a c_{A0}. Não há adsorção nem reação. Vamos formular um modelo diferencial unidimensional (coord. radiais) para c_{A}(r,t).

Passo 2

Escrevendo o balanço de massa de A num volume de controle interno à partícula, só há difusão. A acumulação de A nos poros é
\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\varepsilon\,c_{A}\bigr)
e o fluxo difusivo (lei de Fick efetiva) é
\mathbf{N}_{A} = -D_{e}\,\nabla c_{A}\,.
Logo o balanço local é
\frac{\partial(\varepsilon\,c_{A})}{\partial t} \;=\;-\nabla\cdot\mathbf{N}_{A} \;\;\Longrightarrow\;\; \varepsilon\,\frac{\partial c_{A}}{\partial t} =\nabla\cdot\bigl(D_{e}\,\nabla c_{A}\bigr).

Passo 3

Assumindo D_{e} constante e simetria radial pura, o operador divergente em coordenadas esféricas reduz-se a
\nabla\cdot\bigl(\nabla c_{A}\bigr) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(r^{2}\frac{\partial c_{A}}{\partial r}\Bigr).
Substituindo em cima obtemos
\varepsilon\,\frac{\partial c_{A}}{\partial t} = D_{e}\,\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(r^{2}\frac{\partial c_{A}}{\partial r}\Bigr).

Passo 4

Dividindo por \varepsilon, o modelo final para o perfil de concentração é
\frac{\partial c_{A}}{\partial t} =\frac{D_{e}}{\varepsilon}\, \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(r^{2}\frac{\partial c_{A}}{\partial r}\Bigr).
Se D_{e} já incorpora \varepsilon, pode-se escrever diretamente
\frac{\partial c_{A}}{\partial t} =D_{e}\,\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(r^{2}\frac{\partial c_{A}}{\partial r}\Bigr).

Passo 5

Precisamos ainda das condições:
– Condição inicial (supondo partícula limpa de A em t=0):
c_{A}(r,0)=0\quad\forall\,0\le r\le R.
– Simetria no centro da esfera r=0:
\left.\frac{\partial c_{A}}{\partial r}\right|_{r=0}=0.
– Na superfície r=R, concentração fixa externamente:
c_{A}(R,t)=c_{A0}\quad\forall\,t>0.

Resposta

O modelo para c_{A}(r,t) é
\frac{\partial c_{A}}{\partial t} =\frac{D_{e}}{\varepsilon}\, \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(r^{2}\frac{\partial c_{A}}{\partial r}\Bigr),
sujeito a
c_{A}(r,0)=0,\quad \left.\frac{\partial c_{A}}{\partial r}\right|_{r=0}=0,\quad c_{A}(R,t)=c_{A0}.
Se D_{e} já incluir \varepsilon, basta usar
\frac{\partial c_{A}}{\partial t} =D_{e}\,\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(r^{2}\frac{\partial c_{A}}{\partial r}\Bigr).

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