Considere uma urna com 3 bolas brancas e 7 bolas vermelhas. Duas bolas são retiradas da urna uma depois da outra sem repor a primeira delas na urna antes da retirada da segunda. Assuma a seguinte notação: B_{1} V_{2} representando que foi retirada uma bola branca na primeira retirada e uma bola vermelha na segunda. Calcule as seguintes probabilidades
P\left(B_{1} B_{2}\right), P\left(V_{1} B_{2}\right), P\left(B_{1} V_{2}\right), P\left(V_{1} V_{2}\right)
Considere que se faz mais uma extração de bolas da urna, recolocando na urna a segunda bola extraída anteriormente e calcule P\left(B_{1} V_{2} B_{3}\right), onde B_{1} V_{2} B_{3} representa que foi extraída branca na primeira, vermelha na sengunda e branca na terceira. Compute ainda,
P\left(B_{1} B_{2} B_{3}\right), P\left(B_{1} B_{2} V_{3}\right), P\left(V_{1} B_{2} B_{3}\right)

Passo 1

Resumo do que o problema pede e os dados que temos.
  • Temos uma urna com 3 bolas brancas e 7 bolas vermelhas (total 10 bolas).
  • Retiram-se duas bolas uma após a outra sem reposição entre a primeira e a segunda.
  • A notação B_{1}V_{2} significa: bola branca na primeira retirada e bola vermelha na segunda retirada.
  • Precisamos calcular as probabilidades das quatro sequências sem reposição: P\left(B_{1}B_{2}\right),\; P\left(V_{1}B_{2}\right),\; P\left(B_{1}V_{2}\right),\; P\left(V_{1}V_{2}\right).
  • Depois faz-se mais uma extração (terceira), mas antes dela recoloca-se na urna a segunda bola extraída (ou seja, a bola 2 é reposta, a bola 1 permanece fora). Com essa regra precisamos calcular: P\left(B_{1}V_{2}B_{3}\right),\; P\left(B_{1}B_{2}B_{3}\right),\; P\left(B_{1}B_{2}V_{3}\right),\; P\left(V_{1}B_{2}B_{3}\right).
  • Não começamos a resolver aqui; só identifiquei o pedido e os dados.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
  • Regra do produto (probabilidade conjunta): para dois eventos em sequência A e B, P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\,P(B\mid A).Aqui P(B\mid A) é a probabilidade de B ocorrer dado que A já ocorreu.
  • Definição de probabilidade condicional: se conhecemos que um evento ocorreu, ajustamos o número de casos favoráveis e o total de casos possíveis para calcular a probabilidade do próximo evento.
  • No nosso problema, “sem reposição” significa que, depois da primeira retirada, a urna tem uma bola a menos; as contagens de brancas/vermelhas mudam. Para a terceira extração, atenção: a segunda bola é reposta antes da terceira, então a composição da urna no momento da terceira depende do que foi tirado em 1 e em 2 (mas com a bola 2 já reposta).
  • Vou aplicar a regla do produto repetidamente e sempre mostrar como conto as bolas restantes para obter P(\cdot\mid\cdot).

Passo 3

Probabilidades da primeira retirada (fácil, antes de qualquer remoção).
  • Probabilidade de retirar branca na primeira: P\left(B_{1}\right)=\frac{3}{10}.
  • Probabilidade de retirar vermelha na primeira: P\left(V_{1}\right)=\frac{7}{10}.
Explicação: há 3 brancas entre 10 bolas; portanto a chance de escolher uma branca inicialmente é 3/10, e similarmente 7/10 para vermelha.

Passo 4

Probabilidades condicionais para a segunda retirada (sem reposição).
  • Se a primeira foi branca ( B_{1}), então restam 2 brancas e 7 vermelhas em 9 bolas. Portanto P\left(B_{2}\mid B_{1}\right)=\frac{2}{9},\qquad P\left(V_{2}\mid B_{1}\right)=\frac{7}{9}.
  • Se a primeira foi vermelha ( V_{1}), então restam 3 brancas e 6 vermelhas em 9 bolas. Portanto P\left(B_{2}\mid V_{1}\right)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3},\qquad P\left(V_{2}\mid V_{1}\right)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.
Explicação: depois da primeira retirada a urna tem 9 bolas; conto quantas brancas/vermelhas sobraram dependendo do que saiu na primeira e divido por 9.

Passo 5

Cálculo das probabilidades conjuntas das duas primeiras retiradas usando a regra do produto.
  • Para \,P\left(B_{1}B_{2}\right): P\left(B_{1}B_{2}\right)=P\left(B_{1}\right)P\left(B_{2}\mid B_{1}\right)=\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}.
  • Para \,P\left(V_{1}B_{2}\right): P\left(V_{1}B_{2}\right)=P\left(V_{1}\right)P\left(B_{2}\mid V_{1}\right)=\frac{7}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{21}{90}=\frac{7}{30}.
  • Para \,P\left(B_{1}V_{2}\right): P\left(B_{1}V_{2}\right)=P\left(B_{1}\right)P\left(V_{2}\mid B_{1}\right)=\frac{3}{10}\cdot\frac{7}{9}=\frac{21}{90}=\frac{7}{30}.
  • Para \,P\left(V_{1}V_{2}\right): P\left(V_{1}V_{2}\right)=P\left(V_{1}\right)P\left(V_{2}\mid V_{1}\right)=\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}.
Verificação rápida: as quatro probabilidades somam 1 (confere que não erramos nas contas).

Passo 6

Preparação para a terceira retirada com reposição da segunda bola: como raciocinar.
  • Processo até a terceira retirada:
    1. Extrai-se a bola 1 (fica fora da urna).
    2. Extrai-se a bola 2 (neste instante a urna tem 8 bolas, mas logo depois a bola 2 é reposta).
    3. Antes da terceira retirada, a bola 2 é colocada de volta na urna; a bola 1 permanece fora.
  • Logo, a urna terá 9 bolas na terceira retirada (porque devolvemos a bola 2, mas a bola 1 continua fora).
  • A composição (quantidade de brancas e vermelhas) antes da terceira depende dos resultados de B_{1} e B_{2} (pois a bola 1 ficou fora e a bola 2 foi reposta).
  • Estratégia: para cada sequência de interesse, calculamos P(\text{sequência de 3}) = P(\text{primeiro})\cdot P(\text{segundo}\mid\text{primeiro})\cdot P(\text{terceiro}\mid\text{primeiro, segundo com reposição}).êçãVou aplicar isso caso a caso, sempre contando quantas bolas de cada cor há no momento da terceira retirada.

Passo 7

Cálculo de P\left(B_{1}V_{2}B_{3}\right) (passo a passo).
  • Primeiro: P\left(B_{1}\right)=\frac{3}{10}.
  • Segundo, dado B_{1}: P\left(V_{2}\mid B_{1}\right)=\frac{7}{9}.(porque após B_{1} restam 2 brancas e 7 vermelhas em 9 bolas).
  • Terceiro, depois de B_{1} e V_{2} e repor a bola 2: a bola 1 (branca) está fora, a bola 2 (vermelha) foi reposta. Então antes da terceira temos 2 brancas e 7 vermelhas em 9 bolas. Assim P\left(B_{3}\mid B_{1},V_{2}\\ \text{e repor }2\right)=\frac{2}{9}.
  • Multiplicando: P\left(B_{1}V_{2}B_{3}\right)=\frac{3}{10}\cdot\frac{7}{9}\cdot\frac{2}{9}=\frac{42}{810}=\frac{7}{135}.

Passo 8

Cálculo de P\left(B_{1}B_{2}B_{3}\right).
  • Primeiro: P\left(B_{1}\right)=\frac{3}{10}.
  • Segundo, dado B_{1}: P\left(B_{2}\mid B_{1}\right)=\frac{2}{9}.
  • Terceiro, após B_{1} e B_{2} e repor a bola 2 (que é branca): a bola 1 (branca) permanece fora; a bola 2 branca foi reposta. Assim antes da terceira temos 2 brancas e 7 vermelhas em 9 bolas. Então P\left(B_{3}\mid B_{1},B_{2}\\ \text{e repor }2\right)=\frac{2}{9}.
  • Multiplicando: P\left(B_{1}B_{2}B_{3}\right)=\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{9}=\frac{12}{810}=\frac{2}{135}.

Passo 9

Cálculo de P\left(B_{1}B_{2}V_{3}\right).
  • Primeiro: P\left(B_{1}\right)=\frac{3}{10}.
  • Segundo: P\left(B_{2}\mid B_{1}\right)=\frac{2}{9}.
  • Terceiro, com B_{1},B_{2} e repor a bola 2 (branca): antes da terceira temos 2 brancas e 7 vermelhas em 9 bolas, então P\left(V_{3}\mid B_{1},B_{2}\\ \text{e repor }2\right)=\frac{7}{9}.
  • Multiplicando: P\left(B_{1}B_{2}V_{3}\right)=\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{7}{9}=\frac{42}{810}=\frac{7}{135}.

Passo 10

Cálculo de P\left(V_{1}B_{2}B_{3}\right).
  • Primeiro: P\left(V_{1}\right)=\frac{7}{10}.
  • Segundo, dado V_{1}: P\left(B_{2}\mid V_{1}\right)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.(após retirar uma vermelha na primeira, restam 3 brancas e 6 vermelhas em 9 bolas).
  • Terceiro, após V_{1} e B_{2} e repor a bola 2 (branca): a bola 1 (vermelha) ficou fora; a bola 2 branca foi reposta. Então antes da terceira há 3 brancas e 6 vermelhas em 9 bolas, e P\left(B_{3}\mid V_{1},B_{2}\\ \text{e repor }2\right)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.
  • Multiplicando: P\left(V_{1}B_{2}B_{3}\right)=\frac{7}{10}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{7}{90}.

Resposta

P\left(B_{1}B_{2}\right)=\dfrac{1}{15}
P\left(V_{1}B_{2}\right)=\dfrac{7}{30}
P\left(B_{1}V_{2}\right)=\dfrac{7}{30}
P\left(V_{1}V_{2}\right)=\dfrac{7}{15}
P\left(B_{1}V_{2}B_{3}\right)=\dfrac{7}{135}
P\left(B_{1}B_{2}B_{3}\right)=\dfrac{2}{135}
P\left(B_{1}B_{2}V_{3}\right)=\dfrac{7}{135}
P\left(V_{1}B_{2}B_{3}\right)=\dfrac{7}{90}

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