Considere uma urna com 3 bolas brancas e 7 bolas vermelhas. Duas bolas são retiradas da urna uma depois da outra sem repor a primeira delas na urna antes da retirada da segunda. Assuma a seguinte notação:
representando que foi retirada uma bola branca na primeira retirada e uma bola vermelha na segunda. Calcule as seguintes probabilidades
Considere que se faz mais uma extração de bolas da urna, recolocando na urna a segunda bola extraída anteriormente e calcule
, onde
representa que foi extraída branca na primeira, vermelha na sengunda e branca na terceira. Compute ainda,
Passo 1
Resumo do que o problema pede e os dados que temos.
- Temos uma urna com
bolas brancas e bolas vermelhas (total bolas). - Retiram-se duas bolas uma após a outra sem reposição entre a primeira e a segunda.
- A notação
significa: bola branca na primeira retirada e bola vermelha na segunda retirada. - Precisamos calcular as probabilidades das quatro sequências sem reposição:
- Depois faz-se mais uma extração (terceira), mas antes dela recoloca-se na urna a segunda bola extraída (ou seja, a bola 2 é reposta, a bola 1 permanece fora). Com essa regra precisamos calcular:
- Não começamos a resolver aqui; só identifiquei o pedido e os dados.
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
- Regra do produto (probabilidade conjunta): para dois eventos em sequência
e , Aqui é a probabilidade de ocorrer dado que já ocorreu. - Definição de probabilidade condicional: se conhecemos que um evento ocorreu, ajustamos o número de casos favoráveis e o total de casos possíveis para calcular a probabilidade do próximo evento.
- No nosso problema, “sem reposição” significa que, depois da primeira retirada, a urna tem uma bola a menos; as contagens de brancas/vermelhas mudam. Para a terceira extração, atenção: a segunda bola é reposta antes da terceira, então a composição da urna no momento da terceira depende do que foi tirado em 1 e em 2 (mas com a bola 2 já reposta).
- Vou aplicar a regla do produto repetidamente e sempre mostrar como conto as bolas restantes para obter
.
Passo 3
Probabilidades da primeira retirada (fácil, antes de qualquer remoção).
- Probabilidade de retirar branca na primeira:
- Probabilidade de retirar vermelha na primeira:
Explicação: há
brancas entre
bolas; portanto a chance de escolher uma branca inicialmente é
, e similarmente
para vermelha.
Passo 4
Probabilidades condicionais para a segunda retirada (sem reposição).
- Se a primeira foi branca (
), então restam brancas e vermelhas em bolas. Portanto - Se a primeira foi vermelha (
), então restam brancas e vermelhas em bolas. Portanto
Explicação: depois da primeira retirada a urna tem
bolas; conto quantas brancas/vermelhas sobraram dependendo do que saiu na primeira e divido por
.
Passo 5
Cálculo das probabilidades conjuntas das duas primeiras retiradas usando a regra do produto.
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Verificação rápida: as quatro probabilidades somam
(confere que não erramos nas contas).
Passo 6
Preparação para a terceira retirada com reposição da segunda bola: como raciocinar.
- Processo até a terceira retirada:
- Extrai-se a bola 1 (fica fora da urna).
- Extrai-se a bola 2 (neste instante a urna tem
bolas, mas logo depois a bola 2 é reposta). - Antes da terceira retirada, a bola 2 é colocada de volta na urna; a bola 1 permanece fora.
- Logo, a urna terá
bolas na terceira retirada (porque devolvemos a bola 2, mas a bola 1 continua fora). - A composição (quantidade de brancas e vermelhas) antes da terceira depende dos resultados de
e (pois a bola 1 ficou fora e a bola 2 foi reposta). - Estratégia: para cada sequência de interesse, calculamos
Vou aplicar isso caso a caso, sempre contando quantas bolas de cada cor há no momento da terceira retirada.
Passo 7
Cálculo de
(passo a passo).
- Primeiro:
- Segundo, dado
: (porque após restam brancas e vermelhas em bolas). - Terceiro, depois de
e e repor a bola : a bola 1 (branca) está fora, a bola 2 (vermelha) foi reposta. Então antes da terceira temos brancas e vermelhas em bolas. Assim - Multiplicando:
Passo 8
Cálculo de
.
- Primeiro:
- Segundo, dado
: - Terceiro, após
e e repor a bola (que é branca): a bola 1 (branca) permanece fora; a bola 2 branca foi reposta. Assim antes da terceira temos brancas e vermelhas em bolas. Então - Multiplicando:
Passo 9
Cálculo de
.
- Primeiro:
- Segundo:
- Terceiro, com
e repor a bola 2 (branca): antes da terceira temos brancas e vermelhas em bolas, então - Multiplicando:
Passo 10
Cálculo de
.
- Primeiro:
- Segundo, dado
: (após retirar uma vermelha na primeira, restam brancas e vermelhas em bolas). - Terceiro, após
e e repor a bola (branca): a bola 1 (vermelha) ficou fora; a bola 2 branca foi reposta. Então antes da terceira há brancas e vermelhas em bolas, e - Multiplicando: