Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente,
,
e
. Usando o conceito de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades:
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória
, que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
X
-3
-1
1
3
(b) Calcule a esperança
, a variância
e o desvio padrão
da variável aleatória
.
R. 0,4182 .
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória
| X | -3 | -1 | 1 | 3 |
|
|
|
|
|
|
R. 0,4182 .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) obter a função de probabilidade de
, onde
é a diferença entre o número de caras e o número de coroas ao lançar três moedas viciadas; (b) calcular a esperança
, a variância
e o desvio padrão
de
.
Informações relevantes dadas:
Não se pede nenhum método específico no enunciado; vamos usar propriedades de independência e as propriedades de esperança e variância de somas de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro vamos relacionar
com o número de caras
(uma variável inteira que pode ser
). Se
é o número de caras, então o número de coroas é
. Portanto
Essa relação é útil porque
é a soma de três variáveis de Bernoulli independentes
com parâmetros
, ou seja,
onde
se a
-ésima moeda der cara e
caso contrário, com
e
.
Passo 3
Vamos achar a função de probabilidade de
usando a correspondência com
. Os possíveis valores de
e os correspondentes de
são:
Como as moedas são independentes, a probabilidade de qualquer combinação é produto das probabilidades individuais.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Cálculo de
: soma das três maneiras de obter exatamente uma cara (cara na moeda 1, ou na 2, ou na 3):
Cálculo de
: soma das três maneiras de obter exatamente duas caras:
Agora traduzimos para
usando
. Assim a função de probabilidade de
é:
(Confere com a tabela fornecida.)
Passo 4
Vamos calcular a esperança
. Usamos a linearidade da esperança: para constantes
e variável
,
. Aqui
, então
Como
e
, pela linearidade
Portanto
Passo 5
Agora a variância
. Usamos a propriedade
. Como
,
Como
é soma de Bernoullis independentes, as variâncias somam:
Calculamos cada termo:
Somando com denominador comum
:
Logo
Passo 6
Desvio padrão
é raiz quadrada da variância:
Resumo numérico (aproximações com 4 casas decimais):
,
,
.