Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente, \frac{1}{3}, \frac{1}{9} e \frac{1}{27}. Usando o conceito de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades:
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória X, que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
X -3 -1 1 3
\mathrm{p}(\mathrm{x}) \frac{416}{729} \frac{276}{729} \frac{36}{729} \frac{1}{729}
(b) Calcule a esperança E(X), a variância V(X) e o desvio padrão \sigma_{X} da variável aleatória X.
R. 0,4182 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) obter a função de probabilidade de X, onde X é a diferença entre o número de caras e o número de coroas ao lançar três moedas viciadas; (b) calcular a esperança E(X), a variância V(X) e o desvio padrão \sigma_X de X.
Informações relevantes dadas:
\text{As três moedas são independentes com probabilidades de cara: } p_1=\tfrac{1}{3},\; p_2=\tfrac{1}{9},\; p_3=\tfrac{1}{27}.êã
\text{Definição de }X:\; X=\text{(número de caras)} - \text{(número de coroas)} \text{ ao lançar as três moedas.}çãúúçê
Não se pede nenhum método específico no enunciado; vamos usar propriedades de independência e as propriedades de esperança e variância de somas de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro vamos relacionar X com o número de caras H (uma variável inteira que pode ser 0,1,2,3). Se H é o número de caras, então o número de coroas é 3-H. Portanto
X = H - (3-H) = 2H - 3.
Essa relação é útil porque H é a soma de três variáveis de Bernoulli independentes B_1,B_2,B_3 com parâmetros p_1,p_2,p_3, ou seja,
H = B_1 + B_2 + B_3,
onde B_i=1 se a i-ésima moeda der cara e B_i=0 caso contrário, com \mathbb{P}(B_i=1)=p_i e \mathbb{P}(B_i=0)=1-p_i.

Passo 3

Vamos achar a função de probabilidade de X usando a correspondência com H. Os possíveis valores de H e os correspondentes de X são:
H=0 \Rightarrow X=-3,\quad H=1 \Rightarrow X=-1,\quad H=2 \Rightarrow X=1,\quad H=3 \Rightarrow X=3.
Como as moedas são independentes, a probabilidade de qualquer combinação é produto das probabilidades individuais.
Cálculo de \mathbb{P}(H=0)=\mathbb{P}(\text{todas coroa}):
\mathbb{P}(H=0)=(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)=\left(\tfrac{2}{3}\right)\!\left(\tfrac{8}{9}\right)\!\left(\tfrac{26}{27}\right)=\tfrac{416}{729}.
Cálculo de \mathbb{P}(H=3)=\mathbb{P}(\text{todas cara}):
\mathbb{P}(H=3)=p_1p_2p_3=\left(\tfrac{1}{3}\right)\!\left(\tfrac{1}{9}\right)\!\left(\tfrac{1}{27}\right)=\tfrac{1}{729}.
Cálculo de \mathbb{P}(H=1): soma das três maneiras de obter exatamente uma cara (cara na moeda 1, ou na 2, ou na 3):
\begin{aligned} \mathbb{P}(H=1)&=p_1(1-p_2)(1-p_3)+(1-p_1)p_2(1-p_3)+(1-p_1)(1-p_2)p_3\\\ &=\left(\tfrac{1}{3}\right)\!\left(\tfrac{8}{9}\right)\!\left(\tfrac{26}{27}\right) +\left(\tfrac{2}{3}\right)\!\left(\tfrac{1}{9}\right)\!\left(\tfrac{26}{27}\right) +\left(\tfrac{2}{3}\right)\!\left(\tfrac{8}{9}\right)\!\left(\tfrac{1}{27}\right)\\\ &=\tfrac{208}{729}+\tfrac{52}{729}+\tfrac{16}{729}=\tfrac{276}{729}. \end{aligned}
Cálculo de \mathbb{P}(H=2): soma das três maneiras de obter exatamente duas caras:
\begin{aligned} \mathbb{P}(H=2)&=p_1p_2(1-p_3)+p_1(1-p_2)p_3+(1-p_1)p_2p_3\\\ &=\left(\tfrac{1}{3}\right)\!\left(\tfrac{1}{9}\right)\!\left(\tfrac{26}{27}\right) +\left(\tfrac{1}{3}\right)\!\left(\tfrac{8}{9}\right)\!\left(\tfrac{1}{27}\right) +\left(\tfrac{2}{3}\right)\!\left(\tfrac{1}{9}\right)\!\left(\tfrac{1}{27}\right)\\\ &=\tfrac{26}{729}+\tfrac{8}{729}+\tfrac{2}{729}=\tfrac{36}{729}. \end{aligned}
Agora traduzimos para X usando X=2H-3. Assim a função de probabilidade de X é:
\mathbb{P}(X=-3)=\tfrac{416}{729},\quad \mathbb{P}(X=-1)=\tfrac{276}{729},\quad \mathbb{P}(X=1)=\tfrac{36}{729},\quad \mathbb{P}(X=3)=\tfrac{1}{729}.
(Confere com a tabela fornecida.)

Passo 4

Vamos calcular a esperança E(X). Usamos a linearidade da esperança: para constantes a,b e variável Y, E(aY+b)=aE(Y)+b. Aqui X=2H-3, então
E(X)=2E(H)-3.
Como H=B_1+B_2+B_3 e E(B_i)=p_i, pela linearidade
E(H)=p_1+p_2+p_3=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{27}=\tfrac{13}{27}.
Portanto
E(X)=2\cdot\tfrac{13}{27}-3=\tfrac{26}{27}-\tfrac{81}{27}=-\tfrac{55}{27}\approx -2,0370.

Passo 5

Agora a variância V(X). Usamos a propriedade V(aY+b)=a^2V(Y). Como X=2H-3,
V(X)=4V(H).
Como H é soma de Bernoullis independentes, as variâncias somam:
V(H)=\sum_{i=1}^3 V(B_i)=\sum_{i=1}^3 p_i(1-p_i).
Calculamos cada termo:
p_1(1-p_1)=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{2}{9},\quad p_2(1-p_2)=\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{8}{9}=\tfrac{8}{81},\quad p_3(1-p_3)=\tfrac{1}{27}\cdot\tfrac{26}{27}=\tfrac{26}{729}.
Somando com denominador comum 729:
V(H)=\tfrac{162}{729}+\tfrac{72}{729}+\tfrac{26}{729}=\tfrac{260}{729}.
Logo
V(X)=4\cdot\tfrac{260}{729}=\tfrac{1040}{729}\approx 1,4266.

Passo 6

Desvio padrão \sigma_X é raiz quadrada da variância:
\sigma_X=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\tfrac{1040}{729}}=\tfrac{\sqrt{1040}}{27}\approx 1,1944.
Resumo numérico (aproximações com 4 casas decimais): E(X)\approx -2,0370, V(X)\approx 1,4266, \sigma_X\approx 1,1944.

Resposta

\mathbb{P}(X=-3)=\tfrac{416}{729},\; \mathbb{P}(X=-1)=\tfrac{276}{729},\; \mathbb{P}(X=1)=\tfrac{36}{729},\; \mathbb{P}(X=3)=\tfrac{1}{729}.
E(X)=-\tfrac{55}{27}\approx -2,0370,\; V(X)=\tfrac{1040}{729}\approx 1,4266,\; \sigma_X=\sqrt{\tfrac{1040}{729}}\approx 1,1944.

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