Considere uma urna contendo 3 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 pretas. São extraídas, ao acaso e sem reposição, 3 bolas da urna. Suponha que, para cada realização deste experimento, ganhamos 1 dólar a cada bola branca escolhida e perdemos 1 dólar a cada bola vermelha escolhida. Se X é a v.a. que determina o ganho total de cada realização do experimento, determine a função de probabilidade de X.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma urna com 3 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 pretas, totalizando 11 bolas. Vamos extrair, sem reposição, 3 bolas dessa urna. Queremos determinar a função de probabilidade da variável aleatória $ X $, que representa o ganho total em dólares: ganhamos 1 dólar para cada bola branca escolhida e perdemos 1 dólar para cada bola vermelha escolhida.
Para resolver isso, precisamos entender os conceitos de combinação e variável aleatória. Vamos calcular todas as possíveis combinações de bolas que podemos extrair e, para cada uma, determinar o valor de $ X $ e sua probabilidade.

Passo 2

Primeiro, calculamos o número total de maneiras de extrair 3 bolas de um total de 11. Isso é dado pela combinação:
Total de combinações = binom113 = 165 çõ
Essa será a base para calcular as probabilidades das diferentes situações.

Passo 3

Agora, vamos identificar todas as possíveis combinações de bolas brancas e vermelhas que podemos extrair em 3 bolas e, para cada combinação, calcular o valor de $ X $.
As possibilidades são:
  • 0 bolas brancas e 0 vermelhas: Todas as 3 bolas são pretas.
  • 0 bolas brancas e 1 vermelha: 1 vermelha e 2 pretas.
  • 0 bolas brancas e 2 vermelhas: 2 vermelhas e 1 preta.
  • 0 bolas brancas e 3 vermelhas: 3 vermelhas.
  • 1 bola branca e 0 vermelhas: 1 branca e 2 pretas.
  • 1 bola branca e 1 vermelha: 1 branca, 1 vermelha e 1 preta.
  • 1 bola branca e 2 vermelhas: 1 branca e 2 vermelhas.
  • 2 bolas brancas e 0 vermelhas: 2 brancas e 1 preta.
  • 2 bolas brancas e 1 vermelha: 2 brancas e 1 vermelha.
  • 3 bolas brancas e 0 vermelhas: 3 brancas.
Para cada uma dessas combinações, calcularemos o valor de $ X $ e a quantidade de maneiras de ocorrer.

Passo 4

Vamos calcular cada caso:
  1. 0 brancas e 0 vermelhas:
    • $ X = 0 $ dólares.
    • Combinações: $ \binom{3}{0} \times \binom{3}{0} \times \binom{5}{3} = 1 \times 1 \times 10 = 10 $.
  2. 0 brancas e 1 vermelha:
    • $ X = -1 $ dólar.
    • Combinações: $ \binom{3}{0} \times \binom{3}{1} \times \binom{5}{2} = 1 \times 3 \times 10 = 30 $.
  3. 0 brancas e 2 vermelhas:
    • $ X = -2 $ dólares.
    • Combinações: $ \binom{3}{0} \times \binom{3}{2} \times \binom{5}{1} = 1 \times 3 \times 5 = 15 $.
  4. 0 brancas e 3 vermelhas:
    • $ X = -3 $ dólares.
    • Combinações: $ \binom{3}{0} \times \binom{3}{3} \times \binom{5}{0} = 1 \times 1 \times 1 = 1 $.
  5. 1 branca e 0 vermelhas:
    • $ X = 1 $ dólar.
    • Combinações: $ \binom{3}{1} \times \binom{3}{0} \times \binom{5}{2} = 3 \times 1 \times 10 = 30 $.
  6. 1 branca e 1 vermelha:
    • $ X = 0 $ dólares.
    • Combinações: $ \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{5}{1} = 3 \times 3 \times 5 = 45 $.
  7. 1 branca e 2 vermelhas:
    • $ X = -1 $ dólar.
    • Combinações: $ \binom{3}{1} \times \binom{3}{2} \times \binom{5}{0} = 3 \times 3 \times 1 = 9 $.
  8. 2 brancas e 0 vermelhas:
    • $ X = 2 $ dólares.
    • Combinações: $ \binom{3}{2} \times \binom{3}{0} \times \binom{5}{1} = 3 \times 1 \times 5 = 15 $.
  9. 2 brancas e 1 vermelha:
    • $ X = 1 $ dólar.
    • Combinações: $ \binom{3}{2} \times \binom{3}{1} \times \binom{5}{0} = 3 \times 3 \times 1 = 9 $.
  10. 3 brancas e 0 vermelhas:
    • $ X = 3 $ dólares.
    • Combinações: $ \binom{3}{3} \times \binom{3}{0} \times \binom{5}{0} = 1 \times 1 \times 1 = 1 $.

Passo 5

Agora, vamos organizar esses resultados para facilitar a visualização:
Número de Brancas (W) Número de Vermelhas ® Valor de $ X $ Combinações
0 0 0 10
0 1 -1 30
0 2 -2 15
0 3 -3 1
1 0 1 30
1 1 0 45
1 2 -1 9
2 0 2 15
2 1 1 9
3 0 3 1

Passo 6

Com base na tabela acima, vamos agrupar as combinações que resultam no mesmo valor de $ X $:
  • $ X = -3 $: 1 combinação.
  • $ X = -2 $: 15 combinações.
  • $ X = -1 $: 30 + 9 = 39 combinações.
  • $ X = 0 $: 10 + 45 = 55 combinações.
  • $ X = 1 $: 30 + 9 = 39 combinações.
  • $ X = 2 $: 15 combinações.
  • $ X = 3 $: 1 combinação.

Passo 7

Agora, calculamos a probabilidade de cada valor de $ X $ dividindo o número de combinações favoráveis pelo total de combinações (165):
X úçõ
Então:
  • $ P(X = -3) = \frac{1}{165} $
  • $ P(X = -2) = \frac{15}{165} = \frac{1}{11} $
  • $ P(X = -1) = \frac{39}{165} = \frac{13}{55} $
  • $ P(X = 0) = \frac{55}{165} = \frac{1}{3} $
  • $ P(X = 1) = \frac{39}{165} = \frac{13}{55} $
  • $ P(X = 2) = \frac{15}{165} = \frac{1}{11} $
  • $ P(X = 3) = \frac{1}{165} $

Resposta

A função de probabilidade de $ X $ é:
X

Exercícios relacionados