Considere uma urna contendo 3 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 pretas. São extraídas, ao acaso e sem reposição, 3 bolas da urna. Suponha que, para cada realização deste experimento, ganhamos 1 dólar a cada bola branca escolhida e perdemos 1 dólar a cada bola vermelha escolhida. Se
é a v.a. que determina o ganho total de cada realização do experimento, determine a função de probabilidade de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma urna com 3 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 pretas, totalizando 11 bolas. Vamos extrair, sem reposição, 3 bolas dessa urna. Queremos determinar a função de probabilidade da variável aleatória $ X $, que representa o ganho total em dólares: ganhamos 1 dólar para cada bola branca escolhida e perdemos 1 dólar para cada bola vermelha escolhida.
Para resolver isso, precisamos entender os conceitos de combinação e variável aleatória. Vamos calcular todas as possíveis combinações de bolas que podemos extrair e, para cada uma, determinar o valor de $ X $ e sua probabilidade.
Passo 2
Primeiro, calculamos o número total de maneiras de extrair 3 bolas de um total de 11. Isso é dado pela combinação:
Essa será a base para calcular as probabilidades das diferentes situações.
Passo 3
Agora, vamos identificar todas as possíveis combinações de bolas brancas e vermelhas que podemos extrair em 3 bolas e, para cada combinação, calcular o valor de $ X $.
As possibilidades são:
- 0 bolas brancas e 0 vermelhas: Todas as 3 bolas são pretas.
- 0 bolas brancas e 1 vermelha: 1 vermelha e 2 pretas.
- 0 bolas brancas e 2 vermelhas: 2 vermelhas e 1 preta.
- 0 bolas brancas e 3 vermelhas: 3 vermelhas.
- 1 bola branca e 0 vermelhas: 1 branca e 2 pretas.
- 1 bola branca e 1 vermelha: 1 branca, 1 vermelha e 1 preta.
- 1 bola branca e 2 vermelhas: 1 branca e 2 vermelhas.
- 2 bolas brancas e 0 vermelhas: 2 brancas e 1 preta.
- 2 bolas brancas e 1 vermelha: 2 brancas e 1 vermelha.
- 3 bolas brancas e 0 vermelhas: 3 brancas.
Para cada uma dessas combinações, calcularemos o valor de $ X $ e a quantidade de maneiras de ocorrer.
Passo 4
Vamos calcular cada caso:
-
0 brancas e 0 vermelhas:
- $ X = 0 $ dólares.
- Combinações: $ \binom{3}{0} \times \binom{3}{0} \times \binom{5}{3} = 1 \times 1 \times 10 = 10 $.
-
0 brancas e 1 vermelha:
- $ X = -1 $ dólar.
- Combinações: $ \binom{3}{0} \times \binom{3}{1} \times \binom{5}{2} = 1 \times 3 \times 10 = 30 $.
-
0 brancas e 2 vermelhas:
- $ X = -2 $ dólares.
- Combinações: $ \binom{3}{0} \times \binom{3}{2} \times \binom{5}{1} = 1 \times 3 \times 5 = 15 $.
-
0 brancas e 3 vermelhas:
- $ X = -3 $ dólares.
- Combinações: $ \binom{3}{0} \times \binom{3}{3} \times \binom{5}{0} = 1 \times 1 \times 1 = 1 $.
-
1 branca e 0 vermelhas:
- $ X = 1 $ dólar.
- Combinações: $ \binom{3}{1} \times \binom{3}{0} \times \binom{5}{2} = 3 \times 1 \times 10 = 30 $.
-
1 branca e 1 vermelha:
- $ X = 0 $ dólares.
- Combinações: $ \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{5}{1} = 3 \times 3 \times 5 = 45 $.
-
1 branca e 2 vermelhas:
- $ X = -1 $ dólar.
- Combinações: $ \binom{3}{1} \times \binom{3}{2} \times \binom{5}{0} = 3 \times 3 \times 1 = 9 $.
-
2 brancas e 0 vermelhas:
- $ X = 2 $ dólares.
- Combinações: $ \binom{3}{2} \times \binom{3}{0} \times \binom{5}{1} = 3 \times 1 \times 5 = 15 $.
-
2 brancas e 1 vermelha:
- $ X = 1 $ dólar.
- Combinações: $ \binom{3}{2} \times \binom{3}{1} \times \binom{5}{0} = 3 \times 3 \times 1 = 9 $.
-
3 brancas e 0 vermelhas:
- $ X = 3 $ dólares.
- Combinações: $ \binom{3}{3} \times \binom{3}{0} \times \binom{5}{0} = 1 \times 1 \times 1 = 1 $.
Passo 5
Agora, vamos organizar esses resultados para facilitar a visualização:
Número de Brancas (W) | Número de Vermelhas ® | Valor de $ X $ | Combinações |
---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 10 |
0 | 1 | -1 | 30 |
0 | 2 | -2 | 15 |
0 | 3 | -3 | 1 |
1 | 0 | 1 | 30 |
1 | 1 | 0 | 45 |
1 | 2 | -1 | 9 |
2 | 0 | 2 | 15 |
2 | 1 | 1 | 9 |
3 | 0 | 3 | 1 |
Passo 6
Com base na tabela acima, vamos agrupar as combinações que resultam no mesmo valor de $ X $:
- $ X = -3 $: 1 combinação.
- $ X = -2 $: 15 combinações.
- $ X = -1 $: 30 + 9 = 39 combinações.
- $ X = 0 $: 10 + 45 = 55 combinações.
- $ X = 1 $: 30 + 9 = 39 combinações.
- $ X = 2 $: 15 combinações.
- $ X = 3 $: 1 combinação.
Passo 7
Agora, calculamos a probabilidade de cada valor de $ X $ dividindo o número de combinações favoráveis pelo total de combinações (165):
Então:
- $ P(X = -3) = \frac{1}{165} $
- $ P(X = -2) = \frac{15}{165} = \frac{1}{11} $
- $ P(X = -1) = \frac{39}{165} = \frac{13}{55} $
- $ P(X = 0) = \frac{55}{165} = \frac{1}{3} $
- $ P(X = 1) = \frac{39}{165} = \frac{13}{55} $
- $ P(X = 2) = \frac{15}{165} = \frac{1}{11} $
- $ P(X = 3) = \frac{1}{165} $
Resposta
A função de probabilidade de $ X $ é: