Uma loja de brinquedos recebe, em média, 2 reclamações por dia. Caso sejam recebidas mais de 3 reclamações em um único dia, a loja oferecer desconto de 10 % no dia seguinte.
Considerando um mês com 30 dias, qual é a probabilidade da loja dar desconto em 28 dias ou mais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma loja de brinquedos que recebe, em média, 2 reclamações por dia. Se em um dia chegam mais de 3 reclamações, a loja oferece um desconto de 10% no dia seguinte. Queremos saber qual é a probabilidade de, em um mês de 30 dias, a loja dar desconto em 28 dias ou mais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição de Poisson e distribuição Binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as reclamações chegam. Já que em média são 2 por dia, podemos modelar isso usando a Distribuição de Poisson. A fórmula da Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
onde:
  • $ \lambda $ é a média de ocorrências (neste caso, 2 reclamações por dia),
  • $ k $ é o número de reclamações que queremos calcular a probabilidade.
Queremos a probabilidade de receber mais de 3 reclamações em um dia, ou seja, $ P(X > 3) $.

Passo 3

Para encontrar $ P(X > 3) $, podemos calcular 1 menos a probabilidade de ter 3 ou menos reclamações:
P(X > 3)
Vamos calcular $ P(X \leq 3) $:
P(X > 3) = 1 - P(X <= 3)
Calculando cada termo:
P(X <= 3)
P(X <= 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
P(X=0) = e^-2 cdot 2^00! = e^-2 approx 0,1353
P(X=1) = e^-2 cdot 2^11! = 2e^-2 approx 0,2707
Somando essas probabilidades:
P(X=2) = e^-2 cdot 2^22! = 2e^-2 approx 0,2707
Então:
P(X=3) = e^-2 cdot 2^33! = 86e^-2 approx 0,1804

Passo 4

Agora que sabemos que a probabilidade de receber mais de 3 reclamações em um dia é aproximadamente 14,29%, vamos considerar isso como a probabilidade de oferecer desconto em um dia específico.
Queremos saber a probabilidade de oferecer desconto em 28 dias ou mais em um mês de 30 dias. Isso envolve a Distribuição Binomial, onde:
  • $ n = 30 $ (número de dias),
  • $ p = 0,1429 $ (probabilidade de sucesso, ou seja, oferecer desconto em um dia).
A probabilidade de oferecer desconto exatamente $ k $ dias é dada por:
n = 30
Queremos $ P(N \geq 28) $, que é:
p = 0,1429

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  1. Para $ N = 28 $:
N = 28
  1. Para $ N = 29 $:
P(N=28) = binom3028 (0,1429)^28 (0,8571)^2
  1. Para $ N = 30 $:
N = 29
Calculando cada combinação:
P(N=29) = binom3029 (0,1429)^29 (0,8571)^1
N = 30
P(N=30) = binom3030 (0,1429)^30 (0,8571)^0
Agora, substituindo:
binom3028 = 30!28!2! = 435
binom3029 = 30
binom3030 = 1

Passo 6

Essas probabilidades são extremamente pequenas devido aos expoentes elevados de 0,1429. Na prática, a probabilidade de oferecer desconto em 28 dias ou mais em um mês de 30 dias é praticamente zero.

Resposta

A probabilidade de a loja oferecer desconto em 28 dias ou mais em um mês de 30 dias é praticamente zero.

Exercícios relacionados