Uma loja de brinquedos recebe, em média, 2 reclamações por dia. Caso sejam recebidas mais de 3 reclamações em um único dia, a loja oferecer desconto de 10 % no dia seguinte.
Sabendo que as reclamações em dias diferentes são independentes, qual é a probabilidade da loja dar desconto de 10% durante 5 dias consecutivos?

Passo 1

Entendendo o problema
A gente tem uma loja de brinquedos que, em média, recebe 2 reclamações por dia. Se, em algum dia, receberem mais de 3 reclamações, a loja decide oferecer um desconto de 10% no dia seguinte. Queremos descobrir qual é a probabilidade de a loja dar esse desconto durante 5 dias seguidos.
Conteúdo que vamos usar: Probabilidade de eventos independentes usando a distribuição de Poisson.

Passo 2

Modelando as reclamações diárias
Primeiro, vamos modelar o número de reclamações por dia. Como a média é de 2 reclamações por dia e as reclamações são eventos independentes, podemos usar a distribuição de Poisson, que é ótima para contar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • $ \lambda $ é a média de ocorrências (no nosso caso, 2).
  • $ k $ é o número de reclamações.
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (~2.71828).

Passo 3

Calculando a probabilidade de mais de 3 reclamações em um dia
Queremos saber a probabilidade de $ X > 3 $ reclamações em um dia. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de ter até 3 reclamações.
X > 3
Vamos calcular $ P(X \leq 3) $:
P(X > 3) = 1 - P(X <= 3)
Calculando cada termo:
P(X <= 3)
P(X <= 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
P(X=0) = e^-2 cdot 2^00! = e^-2 approx 0,1353
P(X=1) = e^-2 cdot 2^11! = 2e^-2 approx 0,2707
Somando tudo:
P(X=2) = e^-2 cdot 2^22! = 2e^-2 approx 0,2707
Agora, calculamos $ P(X > 3) $:
P(X=3) = e^-2 cdot 2^33! = 86e^-2 approx 0,1804

Passo 4

Calculando a probabilidade de dar desconto por 5 dias seguidos
Como os dias são independentes, a probabilidade de a loja dar desconto em todos os 5 dias é o produto das probabilidades diárias.
P(5 dias com desconto) = (P(X > 3))^5 = (0,1429)^5
Calculando:
(0,1429)^5 approx 0,0000594 ou 0,00594%

Resposta

A probabilidade da loja dar desconto de 10% durante 5 dias consecutivos é aproximadamente 0,006%.

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