Considere uma urna contendo cinco bolas verdes e seis bolas vermelhas. São retiradas duas bolas da urna, sem reposição. Determine a probabilidade:
b) Bola verde na segunda extração.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A urna contém 5 bolas verdes e 6 bolas vermelhas.
  • São retiradas 2 bolas sem reposição (ou seja, a primeira retirada altera a composição da urna antes da segunda).
    O que se pede:
  • Determinar a probabilidade de que a bola retirada na segunda extração seja verde.

Passo 2

Vou definir eventos para escrevermos a probabilidade de forma organizada:
  • G_1: “a primeira bola é verde”.
  • R_1: “a primeira bola é vermelha”.
  • G_2: “a segunda bola é verde”.
O objetivo é calcular P(G_2), a probabilidade de G_2.

Passo 3

Vamos usar a ideia básica de probabilidade condicional e a regra da probabilidade total. Explicando devagar:
  • Probabilidade condicional P(A\mid B) é a probabilidade de A ocorrer sabendo que B já ocorreu. A fórmula útil é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
  • A regra da probabilidade total, aplicada aqui com a partição pelos eventos G_1 e R_1, diz:
P(G_2)=P(G_2\mid G_1)\,P(G_1)+P(G_2\mid R_1)\,P(R_1).
Isto significa: a probabilidade da segunda ser verde é a soma das probabilidades de cada cenário (primeira verde ou primeira vermelha) vezes a probabilidade da segunda verde nesses cenários.

Passo 4

Calcular cada termo da soma, explicando passo a passo.
  1. Probabilidades do primeiro evento:
P(G_1)=\frac{5}{11},\qquad P(R_1)=\frac{6}{11},
porque inicialmente há 5 verdes em 11 bolas e 6 vermelhas em 11 bolas.
  1. Probabilidade da segunda ser verde dado o que ocorreu na primeira:
  • Se a primeira foi verde ( G_1), restam 4 verdes e 10 bolas no total, logo
P(G_2\mid G_1)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.
  • Se a primeira foi vermelha ( R_1), ainda restam 5 verdes e 10 bolas no total, logo
P(G_2\mid R_1)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora substituímos na fórmula da probabilidade total e calculamos cuidadosamente:
P(G_2)=\frac{5}{11}\cdot\frac{4}{10}+\frac{6}{11}\cdot\frac{5}{10}.
Calculando numeradores e denominadores:
P(G_2)=\frac{20}{110}+\frac{30}{110}=\frac{50}{110}.
Simplificando a fração:
\frac{50}{110}=\frac{5}{11}.

Passo 6

Intuição alternativa (útil na prova): sem reposição, todas as bolas têm a mesma chance de ocupar cada posição de retirada; portanto a probabilidade da segunda bola ser verde é igual à proporção inicial de verdes na urna, que é \tfrac{5}{11}. É uma maneira rápida de lembrar o resultado depois de entender a conta.

Resposta

\dfrac{5}{11}

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