Considerando três tipos de sementes I, II e III, sendo respectivamente 45 \%, 30 \% e 25 \%. Se 0,5 \% das sementes do tipo I, 0,8 \% do tipo II e 2 \% do tipo III não germinaram.
a) Qual é a probabilidade de uma semente germinar?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados ele nos dá.
  • Pergunta: Qual é a probabilidade de uma semente germinar?
  • Dados fornecidos:
    • Proporção das sementes por tipo:
      • Tipo I: P(T_1)=45\%
      • Tipo II: P(T_2)=30\%
      • Tipo III: P(T_3)=25\%
    • Probabilidades de NÃO germinar por tipo:
      • Tipo I: P(\overline{G}\mid T_1)=0{,}5\%
      • Tipo II: P(\overline{G}\mid T_2)=0{,}8\%
      • Tipo III: P(\overline{G}\mid T_3)=2\%
Aqui G é o evento “a semente germina” e \overline{G} é o evento complementar “a semente não germina”.

Passo 2

Transformar porcentagens em probabilidades decimais e preparar as probabilidades condicionais de germinar.
  • Converter proporções: P(T_1)=0{,}45,\qquad P(T_2)=0{,}30,\qquad P(T_3)=0{,}25.
  • Converter taxas de não germinação: P(\overline{G}\mid T_1)=0{,}005,\qquad P(\overline{G}\mid T_2)=0{,}008,\qquad P(\overline{G}\mid T_3)=0{,}02.
  • Usar a relação complementar para obter as probabilidades de germinar em cada tipo: P(G\mid T_i)=1-P(\overline{G}\mid T_i).
Calculemos esses P(G\mid T_i):
P(G\mid T_1)=1-0{,}005=0{,}995,
P(G\mid T_2)=1-0{,}008=0{,}992,
P(G\mid T_3)=1-0{,}02=0{,}98.

Passo 3

Explicar o método: lei da probabilidade total.
Quando temos uma partição do espaço amostral pelos tipos T_1,T_2,T_3, a probabilidade de germinar é a média ponderada das probabilidades condicionais:
P(G)=P(G\mid T_1)P(T_1)+P(G\mid T_2)P(T_2)+P(G\mid T_3)P(T_3).
Isto é a aplicação direta da fórmula da probabilidade total.

Passo 4

Calcular cada termo da soma mostrando contas passo a passo (sem usar calculadora complicada).
  • Para T_1: 0{,}45\cdot0{,}995=0{,}45(1-0{,}005)=0{,}45-0{,}45\cdot0{,}005=0{,}45-0{,}00225=0{,}44775.
  • Para T_2: 0{,}30\cdot0{,}992=0{,}30(1-0{,}008)=0{,}30-0{,}30\cdot0{,}008=0{,}30-0{,}0024=0{,}2976.
  • Para T_3: 0{,}25\cdot0{,}98=0{,}245.
Somando os termos:
P(G)=0{,}44775+0{,}2976+0{,}245=0{,}99035.
Portanto a probabilidade de uma semente escolhida aleatoriamente germinar é 0{,}99035.

Passo 5

Verificação alternativa (checar com a probabilidade de NÃO germinar):
Calcular P(\overline{G}) pela lei total:
P(\overline{G})=0{,}45\cdot0{,}005+0{,}30\cdot0{,}008+0{,}25\cdot0{,}02
=0{,}00225+0{,}0024+0{,}005=0{,}00965.
Então P(G)=1-P(\overline{G})=1-0{,}00965=0{,}99035, confirmando o resultado.
Força aí — essa conta ficou bonita e mostra que quase todas as sementes germinam (mais de 99\%).

Resposta

P(\text{germinar})=0{,}99035\approx99{,}035\%

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