Considere uma urna contendo cinco bolas verdes e seis bolas vermelhas. São retiradas duas bolas da urna, sem reposição. Determine a probabilidade:
a) Bola verde na primeira e na segunda extração.
a) Bola verde na primeira e na segunda extração.
Passo 1
O enunciado dá uma urna com bolas verdes e vermelhas e pede a probabilidade de extrair duas bolas verdes em sequência, sem reposição. Informações fornecidas:
- Existem
bolas verdes. - Existem
bolas vermelhas. - Total de bolas iniciais:
. - São retiradas duas bolas, sem reposição (ou seja, a primeira bola não volta para a urna antes da segunda extração).
O que o problema pergunta:
- (a) Qual a probabilidade de sair bola verde na primeira extração e também bola verde na segunda extração?
Passo 2
Vamos escolher um método adequado. Dois métodos muito usados aqui são:
- Probabilidade condicional (usar a regra do produto): calcular
e e multiplicar. - Contagem combinatória (método hipergeométrico): contar de quantas maneiras retirar 2 verdes dentre todas as formas de retirar 2 bolas.
Vou apresentar os dois, porque ambos são simples e úteis na prova. Primeiro uso o método da probabilidade condicional (mais direto), depois confirmo com a contagem combinatória.
Passo 3
Calcular a probabilidade de a primeira bola ser verde.
Explicação da ideia: probabilidade de um evento é número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis, quando todos os casos são igualmente prováveis. Aqui, na primeira extração há
bolas possíveis e
são favoráveis (verdes).
Logo,
Passo 4
Calcular a probabilidade de a segunda bola ser verde, dado que a primeira foi verde.
Explicação: como não há reposição, após retirar uma verde resta uma a menos de verdes e também uma a menos no total. Assim, se a primeira foi verde:
- número de verdes restantes:
, - número total de bolas restantes:
.
Portanto a probabilidade condicional é
Passo 5
Aplicar a regra do produto (probabilidade conjunta) para eventos sequenciais dependentes.
Regra: para dois eventos
(primeira é verde) e
(segunda é verde),
Substituindo os valores obtidos:
Agora simplificar a multiplicação passo a passo:
Simplificando por
:
Passo 6
Verificação pelo método combinatório (hipergeométrico), que não usa ordem:
Ideia: contar de quantas formas escolher 2 verdes dentre as
verdes e dividir pelo número de formas de escolher 2 bolas quaisquer dentre as
.
Número de maneiras de escolher 2 verdes:
Número de maneiras de escolher 2 bolas quaisquer:
Probabilidade:
o mesmo resultado obtido antes. Bom sinal!
Passo 7
Interpretação e aproximação numérica para conforto (útil na prova se pedirem arredondamento):
ou seja cerca de
.
Dica rápida para a prova: ao ver “sem reposição” lembre-se sempre de atualizar o numerador e o denominador após a primeira retirada (ou use combinatória/hipergeométrica se preferir).
Passo 8
Resumo final do raciocínio (mental para a prova):
- Primeiro:
verdes em bolas . - Se saiu verde: ficam
verdes em bolas . - Multiplica-se:
.
Força aí — está no caminho certo!