Considere uma urna contendo cinco bolas verdes e seis bolas vermelhas. São retiradas duas bolas da urna, sem reposição. Determine a probabilidade:
a) Bola verde na primeira e na segunda extração.

Passo 1

O enunciado dá uma urna com bolas verdes e vermelhas e pede a probabilidade de extrair duas bolas verdes em sequência, sem reposição. Informações fornecidas:
  • Existem 5 bolas verdes.
  • Existem 6 bolas vermelhas.
  • Total de bolas iniciais: 5+6=11.
  • São retiradas duas bolas, sem reposição (ou seja, a primeira bola não volta para a urna antes da segunda extração).
O que o problema pergunta:
  • (a) Qual a probabilidade de sair bola verde na primeira extração e também bola verde na segunda extração?

Passo 2

Vamos escolher um método adequado. Dois métodos muito usados aqui são:
  1. Probabilidade condicional (usar a regra do produto): calcular P(\text{verde na 1ª})ª e P(\text{verde na 2ª} \mid \text{verde na 1ª})ªª e multiplicar.
  2. Contagem combinatória (método hipergeométrico): contar de quantas maneiras retirar 2 verdes dentre todas as formas de retirar 2 bolas.
Vou apresentar os dois, porque ambos são simples e úteis na prova. Primeiro uso o método da probabilidade condicional (mais direto), depois confirmo com a contagem combinatória.

Passo 3

Calcular a probabilidade de a primeira bola ser verde.
Explicação da ideia: probabilidade de um evento é número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis, quando todos os casos são igualmente prováveis. Aqui, na primeira extração há 11 bolas possíveis e 5 são favoráveis (verdes).
Logo,
P(\text{verde na 1ª})=\frac{5}{11}.ª

Passo 4

Calcular a probabilidade de a segunda bola ser verde, dado que a primeira foi verde.
Explicação: como não há reposição, após retirar uma verde resta uma a menos de verdes e também uma a menos no total. Assim, se a primeira foi verde:
  • número de verdes restantes: 5-1=4,
  • número total de bolas restantes: 11-1=10.
Portanto a probabilidade condicional é
P(\text{verde na 2ª} \mid \text{verde na 1ª})=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.ªª

Passo 5

Aplicar a regra do produto (probabilidade conjunta) para eventos sequenciais dependentes.
Regra: para dois eventos A (primeira é verde) e B (segunda é verde),
P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\,P(B\mid A).
Substituindo os valores obtidos:
P(\text{verde na 1ª e verde na 2ª})=\frac{5}{11}\cdot\frac{4}{10}.ªª
Agora simplificar a multiplicação passo a passo:
\frac{5}{11}\cdot\frac{4}{10}=\frac{5\cdot4}{11\cdot10}=\frac{20}{110}.
Simplificando por 10:
\frac{20}{110}=\frac{2}{11}.

Passo 6

Verificação pelo método combinatório (hipergeométrico), que não usa ordem:
Ideia: contar de quantas formas escolher 2 verdes dentre as 5 verdes e dividir pelo número de formas de escolher 2 bolas quaisquer dentre as 11.
Número de maneiras de escolher 2 verdes:
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2}=10.
Número de maneiras de escolher 2 bolas quaisquer:
\binom{11}{2}=\frac{11\cdot10}{2}=55.
Probabilidade:
\frac{\binom{5}{2}}{\binom{11}{2}}=\frac{10}{55}=\frac{2}{11},
o mesmo resultado obtido antes. Bom sinal!

Passo 7

Interpretação e aproximação numérica para conforto (útil na prova se pedirem arredondamento):
\frac{2}{11}\approx 0{,}1818\ldots
ou seja cerca de 18{,}18\%.
Dica rápida para a prova: ao ver “sem reposição” lembre-se sempre de atualizar o numerador e o denominador após a primeira retirada (ou use combinatória/hipergeométrica se preferir).

Passo 8

Resumo final do raciocínio (mental para a prova):
  • Primeiro: 5 verdes em 11 bolas \Rightarrow 5/11.
  • Se saiu verde: ficam 4 verdes em 10 bolas \Rightarrow 4/10.
  • Multiplica-se: (5/11)\cdot(4/10)=2/11.
Força aí — está no caminho certo!

Resposta

\dfrac{2}{11}

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