Das variáveis abaixo descritas, assinale quais são binomiais, e para estas dê os respectivos campos de definição e função de probabilidade. Quando julgar que a variável não é binomial, aponde as razões da sua conclusão.
Vamos realizar uma pesquisa em dez cidades brasileiras, escolhendo ao acaso um habitante de cada uma delas e classificando-o em pró ou contra um certo projeto federal. Suponha que X seja o número de indivíduos contra o projeto no final da pesquisa.

Passo 1

Beleza, olha só o que a pergunta manda: a gente escolhe um morador em 10 cidades diferentes e pergunta “você é contra ou a favor do projeto?”. A variável X é o número de pessoas que responderam “contra”.
Conteúdo da matéria: distribuição binomial.
O que vamos precisar:
  1. Entender o que é um ensaio de Bernoulli (só dois resultados: “sucesso” = contra, “fracasso” = a favor).
  2. Verificar as condições pra ter uma v.a. binomial (n fixo, independência, p constante).

Passo 2

Definindo o experimento:
  • Cada cidade = 1 ensaio.
  • Total de ensaios .
  • Em cada ensaio só tem dois resultados possíveis: “contra” (vamos chamar de sucesso) ou “não contra”.
  • Probabilidade de “contra” em qualquer cidade: vamos chamar de . (Não foi dada, fica como parâmetro.)
Teoria usada: uma v.a. é binomial se for soma de ensaios de Bernoulli independentes e com mesma probabilidade de sucesso .

Passo 3

Verificando as condições:
  1. Número de tentativas é fixo: aqui .
  2. Cada tentativa tem só dois resultados (Bernoulli): “contra” ou “não contra”.
  3. As escolhas são praticamente independentes (supondo que cada cidade seja grande e a gente não interfira demais na amostra).
  4. A probabilidade de “contra” é a mesma em cada cidade ( ).
Como todas as condições batem, X é binomial.

Passo 4

Agora a gente anota os detalhes:
  • Campo de definição (suporte):
x in 0,1,2,dots,10
  • Função de probabilidade (pmf): para P(X = k) = binom10k,p^k,(1-p)^10-k ,

Resposta

X é uma v.a. Binomial com parâmetros P(X = k) = binom10k,p^k,(1-p)^10-k, k=0,1,dots,10 e .
Domínio: .
Função de probabilidade:

Exercícios relacionados