Das variáveis abaixo descritas, assinale quais são binomiais, e para estas dê os respectivos campos de definição e função de probabilidade. Quando julgar que a variável não é binomial, aponde as razões da sua conclusão.
Vamos realizar uma pesquisa em dez cidades brasileiras, escolhendo ao acaso um habitante de cada uma delas e classificando-o em pró ou contra um certo projeto federal. Suponha que X seja o número de indivíduos contra o projeto no final da pesquisa.
Vamos realizar uma pesquisa em dez cidades brasileiras, escolhendo ao acaso um habitante de cada uma delas e classificando-o em pró ou contra um certo projeto federal. Suponha que X seja o número de indivíduos contra o projeto no final da pesquisa.
Passo 1
Beleza, olha só o que a pergunta manda: a gente escolhe um morador em 10 cidades diferentes e pergunta “você é contra ou a favor do projeto?”. A variável X é o número de pessoas que responderam “contra”.
Conteúdo da matéria: distribuição binomial.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: distribuição binomial.
O que vamos precisar:
- Entender o que é um ensaio de Bernoulli (só dois resultados: “sucesso” = contra, “fracasso” = a favor).
- Verificar as condições pra ter uma v.a. binomial (n fixo, independência, p constante).
Passo 2
Definindo o experimento:
- Cada cidade = 1 ensaio.
- Total de ensaios
. - Em cada ensaio só tem dois resultados possíveis: “contra” (vamos chamar de sucesso) ou “não contra”.
- Probabilidade de “contra” em qualquer cidade: vamos chamar de
. (Não foi dada, fica como parâmetro.)
Teoria usada: uma v.a. é binomial se for soma de
ensaios de Bernoulli independentes e com mesma probabilidade de sucesso
.
Passo 3
Verificando as condições:
- Número de tentativas
é fixo: aqui . - Cada tentativa tem só dois resultados (Bernoulli): “contra” ou “não contra”.
- As escolhas são praticamente independentes (supondo que cada cidade seja grande e a gente não interfira demais na amostra).
- A probabilidade de “contra” é a mesma em cada cidade (
).
Como todas as condições batem, X é binomial.
Passo 4
Agora a gente anota os detalhes:
- Campo de definição (suporte):
- Função de probabilidade (pmf): para
,
Resposta
X é uma v.a. Binomial com parâmetros
e
.
Domínio: .
Função de probabilidade:
Domínio:
Função de probabilidade: