Considere f(x)=2 x^{2}-3 x+1. Usando a definição de derivada.
Calcule f^{\prime}(x).
Calcule f^{\prime}(10).
Calcule f^{\prime}(1).
Caicule f^{\prime}(5).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = 2x^2 - 3x + 1
e pede sua derivada usando a definição
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.
Vamos aplicar essa definição.

Passo 2

Primeiro calculamos f(x+h):
f(x+h) = 2(x+h)^2 - 3(x+h) + 1 = 2(x^2 + 2xh + h^2) - 3x - 3h + 1
\phantom{f(x+h)} = 2x^2 + 4xh + 2h^2 - 3x - 3h + 1.
Então
f(x+h) - f(x) = \bigl(2x^2 + 4xh + 2h^2 - 3x - 3h + 1\bigr) - \bigl(2x^2 - 3x + 1\bigr)
= 4xh + 2h^2 - 3h.
Dividindo por h e fazendo h\to0,
\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 4x + 2h - 3 \quad\longrightarrow\quad 4x - 3.
Logo
\boxed{f'(x) = 4x - 3.}

Passo 3

Para x = 10,
f'(10) = 4\cdot 10 - 3 = 40 - 3 = 37.

Passo 4

Para x = 1,
f'(1) = 4\cdot 1 - 3 = 4 - 3 = 1.

Passo 5

Para x = 5,
f'(5) = 4\cdot 5 - 3 = 20 - 3 = 17.

Resposta

f'(x) = 4x - 3 f'(10) = 37 f'(1) = 1 f'(5) = 17

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