Questão 8: Encontre a equação da reta tangente z̀ curva y=2 \sqrt{x} no ponto x=4.

Passo 1

Temos a curva y=2\sqrt{x} e queremos a reta tangente a essa curva no ponto em que x=4. Vamos usar derivada para obter o coeficiente angular e ponto-pendente para escrever a equação.

Passo 2

Primeiro, encontramos a coordenada y no ponto x=4: como \sqrt{4}=2, temos y(4)=2\cdot2=4, ou seja, o ponto é (4,4). Em seguida, calculamos a derivada:
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(2\sqrt{x}\bigr) = 2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}},
logo em x=4 vale \displaystyle \frac{dy}{dx}\bigl|_{x=4} = \frac{1}{2}.

Passo 3

Usando a forma-ponto da reta tangente, com coeficiente angular m=\tfrac12 e ponto (4,4), escrevemos
y - 4 = \frac{1}{2}(x - 4).
Para a forma y=mx+b, basta expandir e isolar y:
y = \frac{1}{2}x + 2.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = \frac{1}{2}x + 2.

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