Questão 6: Considere a função f(x)=x^{3}-7 x^{2}+16 x-11. Existe algum c \in(1,4) tal que f\text{(c)}=1 ? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe algum c\in(1,4) tal que f\text{(c)}=1, onde
f(x)=x^3 - 7x^2 + 16x - 11.
O conteúdo a usar é o Teorema do Valor Intermediário, que exige continuidade no intervalo e valores opostos nos extremos em relação ao alvo.

Passo 2

Observe que f é um polinômio, logo é contínua em \mathbb{R} e, em particular, em [1,4].

Passo 3

Calcule f(1):
f(1) = 1^3 - 7\cdot1^2 + 16\cdot1 - 11 = 1 - 7 + 16 - 11 = -1.
Portanto, f(1) = -1 < 1.

Passo 4

Calcule f(4):
f(4) = 4^3 - 7\cdot4^2 + 16\cdot4 - 11 = 64 - 112 + 64 - 11 = 5.
Logo, f(4) = 5 > 1.

Passo 5

Como f é contínua em [1,4] e
f(1) = -1 < 1 < 5 = f(4),
pelo Teorema do Valor Intermediário existe c\in(1,4) tal que f\text{(c)}=1.

Resposta

Sim, existe c\in(1,4) com f\text{(c)}=1.

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