Sejam X e Y variáveis que representam a duração de vida de 2 dispositivos eletrônicos com f.d.p. conjunta:
f(x, y)=e^-(x+y), 0 <= x
X e Y são independentes?

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente ver se duas variáveis contínuas X e Y (vidas de dois aparelhos) são independentes, sabendo que a densidade conjunta é
f(x,y)=e^-(x+y), x>=0,;y>=0
Matéria: probabilidade contínua e independência. O que precisamos fazer?
  1. Calcular as densidades marginais e .
  2. Verificar se .

Passo 2

Vamos achar a marginal de fX(x)=integral0^inftyf(x,y),dy =integral0^inftye^-(x+y),dy :
fX(x)=e^-xintegral0^inftye^-y,dy =e^-xl[-e^-yr]0^infty =e^-x,(0-(-1)) =e^-x, x>=0
Como fY(y)=integral0^inftye^-(x+y),dx =e^-yintegral0^inftye^-x,dx =e^-ycdot1 =e^-y, y>=0 é constante no integral, sai fora:
Do mesmo jeitinho para :

Passo 3

Agora a definição de independência diz que X e Y são independentes se, para todo f(x,y);=;fX(x),fY(y) ,
fX(x),fY(y) =l(e^-xr),l(e^-yr) =e^-(x+y),
Vamos conferir:
que é exatamente .

Resposta

Sim, X e Y são independentes.

Exercícios relacionados