Seja ( X, Y ) VE.A.C. Mostre que:
X e Y são independentes Leftrightarrow g(x mid y)=g(x), para todo (x, y).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, para duas variáveis aleatórias contínuas X e Y com densidade conjunta g(xmid y)=gX,Y(x,y)gY(y), para gY(y)>0 , vale
“X e Y são independentes” ↔ “a densidade condicional de X dado Y, que é , é igual à densidade marginal de X, que vamos chamar de , para todo par ”.
O assunto aqui é Teoria de Probabilidade: densidade conjunta, marginais, densidade condicional e definição de independência. Vamos precisar das fórmulas:
  1. Independência: .
  2. Densidade condicional:

Passo 2

Primeiro, revisa a definição de independência:
X e Y são independentes se, pra todo gX,Y(x,y)=g(x),gY(y) ,
g(xmid y)=gX,Y(x,y)gY(y)Longrightarrow gX,Y(x,y)=g(xmid y),gY(y)
Também, por definição de densidade condicional, quando ,

Passo 3

Agora, prova “⇒”. Suponha X e Y independentes, ou seja
gX,Y(x,y)=g(x),gY(y)
Então, pela fórmula da condicional,
g(xmid y) =gX,Y(x,y)gY(y) =g(x),gY(y)gY(y) =g(x)
Pronto, desse lado está feito.

Passo 4

Depois, prova “⇐”. Suponha que para todo g(xmid y)=g(x) com gX,Y(x,y)=g(xmid y),gY(y)=g(x),gY(y) ,
Multiplicando ambos os lados por , fica
Isso é exatamente a condição de independência. Então X e Y são independentes.

Resposta

Mostramos que X e Y são independentes se, e somente se,
g(xmid y)=g(x) para todo (x,y)

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