Seja (
) VE.A.C. Mostre que:
e
são independentes
, para todo
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, para duas variáveis aleatórias contínuas X e Y com densidade conjunta
, vale
“X e Y são independentes” ↔ “a densidade condicional de X dado Y, que é , é igual à densidade marginal de X, que vamos chamar de
, para todo par
”.
O assunto aqui é Teoria de Probabilidade: densidade conjunta, marginais, densidade condicional e definição de independência. Vamos precisar das fórmulas:
“X e Y são independentes” ↔ “a densidade condicional de X dado Y, que é
O assunto aqui é Teoria de Probabilidade: densidade conjunta, marginais, densidade condicional e definição de independência. Vamos precisar das fórmulas:
- Independência:
. - Densidade condicional:
Passo 2
Primeiro, revisa a definição de independência:
X e Y são independentes se, pra todo ,
X e Y são independentes se, pra todo
Também, por definição de densidade condicional, quando
,
Passo 3
Agora, prova “⇒”. Suponha X e Y independentes, ou seja
Então, pela fórmula da condicional,
Pronto, desse lado está feito.
Passo 4
Depois, prova “⇐”. Suponha que para todo
com
,
Multiplicando ambos os lados por
, fica
Isso é exatamente a condição de independência. Então X e Y são independentes.
Resposta
Mostramos que X e Y são independentes se, e somente se,