Coordenadas polares, coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas
Passar do sistema cartesiano para o sistema esférico, C(2,-2,0)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas cartesianas (2,-2,0) para coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas usamos três valores:
\rho,\quad \theta,\quad \varphi
onde
\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},\quad \theta = \text{azimute no plano }xy,\quad \varphi = \text{ângulo polar a partir do eixo }z.â
Para achar cada um vamos usar as fórmulas
\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},\qquad \theta = \operatorname{atan2}(y,x),\qquad \varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr).

Passo 2

Calcular \rho. Substituindo x=2, y=-2, z=0:
\rho = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

Passo 3

Calcular o azimute \theta. Usamos
\theta = \operatorname{atan2}(y,x) = \operatorname{atan2}(-2,\,2).
Como x>0 e y<0, \operatorname{atan2}(-2,2) = -\tfrac{\pi}{4}. Em alternativa, podemos escrever \theta = 7\pi/4 no intervalo [0,2\pi).

Passo 4

Calcular o ângulo polar \varphi a partir do eixo z:
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr) = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{0}{2\sqrt2}\bigr) = \operatorname{arccos}(0) = \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

Em coordenadas esféricas, tomando \theta\in(-\pi,\pi], o ponto C(2,-2,0) fica
\bigl(\rho,\theta,\varphi\bigr) = \bigl(2\sqrt{2},\,-\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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