Considere
Verifique se
é subespaço de
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para verificar se
é subespaço de
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
-
é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem a equação . - A pergunta é simples: confirmar se esse subconjunto
é (ou não é) um subespaço vetorial de .
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser subespaço de
.
Definição prática (forma direta para provas): um subconjunto
é subespaço se e somente se as três propriedades abaixo valem:
Explicação do porquê: como subespaço é um espaço vetorial por si só, ele precisa conter o vetor zero e ser fechado para soma e multiplicação por escalares. Observação útil: a condição (i) costuma ser a mais rápida para refutar um candidato a subespaço, porque qualquer subespaço necessariamente contém o vetor zero (por exemplo, pegando qualquer
e aplicando
na propriedade (iii) obtém-se
).
Passo 3
Aplicando a verificação mais simples: testar se o vetor zero
pertence a
.
Calcule a soma das coordenadas do vetor zero:
A condição que define
exige que as coordenadas somem
. Como
conclui-se que
.
Passo 4
Conclusão imediata a partir do passo anterior: como um subespaço necessariamente contém o vetor zero e
, então
não satisfaz a condição necessária (i) e, portanto, não é subespaço de
.
Isso já basta para responder a questão. Vou dar também uma demonstração alternativa, útil para fixar a ideia.
Passo 5
Demonstração alternativa (mostrar falha de fechamento por escalares): escolha um vetor em
e mostre que um múltiplo escalar deste vetor não fica em
.
Escolha
. Verifique que
porque
Agora tome o escalar
. Então
e a soma das coordenadas é
Logo
, o que mostra que
não é fechado por multiplicação por escalares. Essa é outra maneira direta de ver que
não é subespaço.
Passo 6
Interpretação geométrica e conclusão final: a equação
descreve uma reta em
deslocada em relação à origem — isto é, uma reta que não passa pela origem. Todo subespaço vetorial que seja uma reta deve passar pela origem; se não passa, é uma reta afim (um “subespaço deslocado”) e não um subespaço linear. Portanto
não é subespaço.
Resposta
Não,
não é subespaço de
.