Considere
W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x+y=1\right\}
Verifique se W é subespaço de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x+y=1\right\}
e pede para verificar se W é subespaço de \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • W é o conjunto de todos os vetores (x,y) em \mathbb{R}^{2} que satisfazem a equação x+y=1.
  • A pergunta é simples: confirmar se esse subconjunto W é (ou não é) um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser subespaço de \mathbb{R}^{2}.
Definição prática (forma direta para provas): um subconjunto U\subseteq\mathbb{R}^{2} é subespaço se e somente se as três propriedades abaixo valem:
\begin{aligned} &\text{(i) }(0,0)\in U,\\\ &\text{(ii) se }u,v\in U\text{ então }u+v\in U,\\\ &\text{(iii) se }u\in U\text{ e }\lambda\in\mathbb{R}\text{ então }\lambda u\in U. \end{aligned}ãã
Explicação do porquê: como subespaço é um espaço vetorial por si só, ele precisa conter o vetor zero e ser fechado para soma e multiplicação por escalares. Observação útil: a condição (i) costuma ser a mais rápida para refutar um candidato a subespaço, porque qualquer subespaço necessariamente contém o vetor zero (por exemplo, pegando qualquer u\in U e aplicando \lambda=0 na propriedade (iii) obtém-se 0\cdot u=(0,0)\in U).

Passo 3

Aplicando a verificação mais simples: testar se o vetor zero (0,0) pertence a W.
Calcule a soma das coordenadas do vetor zero:
0+0=0.
A condição que define W exige que as coordenadas somem 1. Como
0\neq 1,
conclui-se que (0,0)\notin W.

Passo 4

Conclusão imediata a partir do passo anterior: como um subespaço necessariamente contém o vetor zero e (0,0)\notin W, então W não satisfaz a condição necessária (i) e, portanto, não é subespaço de \mathbb{R}^{2}.
Isso já basta para responder a questão. Vou dar também uma demonstração alternativa, útil para fixar a ideia.

Passo 5

Demonstração alternativa (mostrar falha de fechamento por escalares): escolha um vetor em W e mostre que um múltiplo escalar deste vetor não fica em W.
Escolha v=(1,0). Verifique que v\in W porque
1+0=1.
Agora tome o escalar \lambda=2. Então
\lambda v = 2(1,0)=(2,0),
e a soma das coordenadas é
2+0=2\neq1.
Logo \lambda v\notin W, o que mostra que W não é fechado por multiplicação por escalares. Essa é outra maneira direta de ver que W não é subespaço.

Passo 6

Interpretação geométrica e conclusão final: a equação x+y=1 descreve uma reta em \mathbb{R}^{2} deslocada em relação à origem — isto é, uma reta que não passa pela origem. Todo subespaço vetorial que seja uma reta deve passar pela origem; se não passa, é uma reta afim (um “subespaço deslocado”) e não um subespaço linear. Portanto W não é subespaço.

Resposta

Não, W não é subespaço de \mathbb{R}^{2}.

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