Considere o conjunto
V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R})=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} a & b \\\ c & d \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\}
com as operações usuais.
Verifique que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
V = M_{2\times 2}(\mathbb{R}) = \left\{\left.\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}\right|\, a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\}
com as operações usuais (adição de matrizes e multiplicação de matriz por escalar, definidas entrada a entrada). A pergunta é: verificar que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os elementos de V são matrizes 2\times2 com entradas reais.
  • A adição + entre matrizes é a adição entrada a entrada.
  • A multiplicação por escalar \lambda\in\mathbb{R} é a multiplicação de cada entrada por \lambda.
O que precisamos mostrar: que todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial sobre \mathbb{R} são satisfeitas por V com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vou listar os axiomas que preciso verificar (cada um será explicado e demonstrado):
  1. Fechamento para adição: A,B\in V \Rightarrow A+B\in V.
  2. Comutatividade da adição: A+B=B+A.
  3. Associatividade da adição: (A+B)+C = A+(B+C).
  4. Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero): existe 0\in V tal que A+0=A.
  5. Existência do inverso aditivo: para todo A\in V existe -A\in V com A+(-A)=0.
  6. Fechamento para multiplicação escalar: \lambda\in\mathbb{R}, A\in V \Rightarrow \lambda A\in V.
  7. Distributividade do escalar sobre a soma de vetores: \lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B.
  8. Distributividade da soma de escalares sobre o vetor: (\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A.
  9. Compatibilidade da multiplicação escalar: (\lambda\mu)A=\lambda(\mu A).
  10. Elemento neutro escalar: 1\cdot A = A.
Vou verificar cada um usando a definição entrada a entrada das operações.

Passo 3

Fechamento para adição (axioma 1).
Sejam
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix},
com todas as entradas reais. A soma, por definição, é
A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix}.
Cada entrada a_{ij}+b_{ij} é soma de dois reais, portanto é real. Logo A+B é uma matriz 2\times2 com entradas reais, isto é, A+B\in V. Isso mostra o fechamento.

Passo 4

Fechamento para multiplicação escalar (axioma 6).
Seja \lambda\in\mathbb{R} e
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\in V.
Por definição,
\lambda A=\begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} \\\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} \end{pmatrix}.
Cada entrada \lambda a_{ij} é produto de dois reais, logo é real. Assim \lambda A\in V. Fechamento sob escalares verificado.

Passo 5

Comutatividade da adição (axioma 2).
Usando entrada a entrada,
A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix}
e
B+A=\begin{pmatrix} b_{11}+a_{11} & b_{12}+a_{12} \\\ b_{21}+a_{21} & b_{22}+a_{22} \end{pmatrix}.
Como a soma de reais é comutativa ( a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}), tem-se A+B=B+A.

Passo 6

Associatividade da adição (axioma 3).
Se A,B,C\in V com entradas a_{ij},b_{ij},c_{ij}, então
(A+B)+C=\begin{pmatrix} (a_{11}+b_{11})+c_{11} & \cdots \\\ \cdots & (a_{22}+b_{22})+c_{22} \end{pmatrix}
e
A+(B+C)=\begin{pmatrix} a_{11}+(b_{11}+c_{11}) & \cdots \\\ \cdots & a_{22}+(b_{22}+c_{22}) \end{pmatrix}.
Como a soma de reais é associativa, (a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij}) para todo i,j. Portanto (A+B)+C = A+(B+C).

Passo 7

Existência do vetor zero (axioma 4).
Defina a matriz zero
0=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix},
onde os zeros são os números reais 0. Para qualquer A\in V,
A+0 = \begin{pmatrix} a_{11}+0 & a_{12}+0 \\\ a_{21}+0 & a_{22}+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = A.
Logo o zero é o elemento neutro aditivo de V.

Passo 8

Existência do inverso aditivo (axioma 5).
Para
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},
defina -A como
-A=\begin{pmatrix} -a_{11} & -a_{12} \\\\ -a_{21} & -a_{22} \end{pmatrix}.
Então
A + (-A) = \begin{pmatrix} a_{11}+(-a_{11}) & \cdots \\\ \cdots & a_{22}+(-a_{22}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0.
Cada entrada de -A é real, então -A\in V. Assim todo elemento tem inverso aditivo.

Passo 9

Distributividade do escalar sobre a soma de vetores (axioma 7).
Seja \lambda\in\mathbb{R} e A,B\in V. Então
\lambda(A+B) = \lambda\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda(a_{11}+b_{11}) & \lambda(a_{12}+b_{12}) \\\ \lambda(a_{21}+b_{21}) & \lambda(a_{22}+b_{22}) \end{pmatrix}.
Pela distributividade dos reais, \lambda(a_{ij}+b_{ij})=\lambda a_{ij}+\lambda b_{ij}. Assim
\lambda(A+B)=\begin{pmatrix} \lambda a_{11}+\lambda b_{11} & \cdots \\\ \cdots & \lambda a_{22}+\lambda b_{22} \end{pmatrix} = \lambda A + \lambda B.

Passo 10

Distributividade da soma de escalares sobre o vetor (axioma 8).
Sejam \lambda,\mu\in\mathbb{R} e A\in V. Então
(\lambda+\mu)A = \begin{pmatrix} (\lambda+\mu)a_{11} & (\lambda+\mu)a_{12} \\\ (\lambda+\mu)a_{21} & (\lambda+\mu)a_{22} \end{pmatrix}.
Pela distributividade nos reais, (\lambda+\mu)a_{ij}=\lambda a_{ij}+\mu a_{ij}. Logo
(\lambda+\mu)A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11}+\mu a_{11} & \cdots \\\ \cdots & \lambda a_{22}+\mu a_{22} \end{pmatrix} = \lambda A + \mu A.

Passo 11

Compatibilidade da multiplicação escalar (axioma 9).
Para \lambda,\mu\in\mathbb{R} e A\in V,
(\lambda\mu)A = \begin{pmatrix} (\lambda\mu)a_{11} & \cdots \\\ \cdots & (\lambda\mu)a_{22} \end{pmatrix}.
E
\lambda(\mu A) = \lambda\begin{pmatrix} \mu a_{11} & \cdots \\\ \cdots & \mu a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda(\mu a_{11}) & \cdots \\\ \cdots & \lambda(\mu a_{22}) \end{pmatrix}.
Como a multiplicação nos reais é associativa, (\lambda\mu)a_{ij} = \lambda(\mu a_{ij}). Portanto (\lambda\mu)A = \lambda(\mu A).

Passo 12

Elemento neutro escalar (axioma 10).
Para A\in V,
1\cdot A = \begin{pmatrix} 1\cdot a_{11} & \cdots \\\ \cdots & 1\cdot a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots \\\ \cdots & a_{22} \end{pmatrix} = A,
pois 1\cdot a_{ij}=a_{ij} nos reais. Assim 1 atua como identidade escalar.

Passo 13

Resumo e conclusão final: verificaram-se todos os axiomas de espaço vetorial — fechamento para adição e multiplicação escalar, propriedades da adição (comutativa, associativa, zero e inverso) e propriedades compatíveis da multiplicação escalar — usando apenas propriedades elementares dos números reais aplicadas entrada a entrada nas matrizes. Portanto, V=M_{2\times2}(\mathbb{R}) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

V=M_{2\times 2}(\mathbb{R}) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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