V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R})=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} a & b \\\ c & d \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\}
com as operações usuais.
Verifique que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
V = M_{2\times 2}(\mathbb{R}) = \left\{\left.\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}\right|\, a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\}
com as operações usuais (adição de matrizes e multiplicação de matriz por escalar, definidas entrada a entrada). A pergunta é: verificar que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas:
Os elementos de V são matrizes 2\times2 com entradas reais.
A adição + entre matrizes é a adição entrada a entrada.
A multiplicação por escalar \lambda\in\mathbb{R} é a multiplicação de cada entrada por \lambda.
O que precisamos mostrar: que todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial sobre \mathbb{R} são satisfeitas por V com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vou listar os axiomas que preciso verificar (cada um será explicado e demonstrado):
Fechamento para adição: A,B\in V \Rightarrow A+B\in V.
Comutatividade da adição: A+B=B+A.
Associatividade da adição: (A+B)+C = A+(B+C).
Existência do elemento neutro aditivo (vetor zero): existe 0\in V tal que A+0=A.
Existência do inverso aditivo: para todo A\in V existe -A\in V com A+(-A)=0.
Fechamento para multiplicação escalar: \lambda\in\mathbb{R}, A\in V \Rightarrow \lambda A\in V.
Distributividade do escalar sobre a soma de vetores: \lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B.
Distributividade da soma de escalares sobre o vetor: (\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A.
Compatibilidade da multiplicação escalar: (\lambda\mu)A=\lambda(\mu A).
Elemento neutro escalar: 1\cdot A = A.
Vou verificar cada um usando a definição entrada a entrada das operações.
Cada entrada a_{ij}+b_{ij} é soma de dois reais, portanto é real. Logo A+B é uma matriz 2\times2 com entradas reais, isto é, A+B\in V. Isso mostra o fechamento.
Passo 4
Fechamento para multiplicação escalar (axioma 6).
Seja \lambda\in\mathbb{R} e
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\in V.
pois 1\cdot a_{ij}=a_{ij} nos reais. Assim 1 atua como identidade escalar.
Passo 13
Resumo e conclusão final: verificaram-se todos os axiomas de espaço vetorial — fechamento para adição e multiplicação escalar, propriedades da adição (comutativa, associativa, zero e inverso) e propriedades compatíveis da multiplicação escalar — usando apenas propriedades elementares dos números reais aplicadas entrada a entrada nas matrizes. Portanto, V=M_{2\times2}(\mathbb{R}) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Resposta
V=M_{2\times 2}(\mathbb{R}) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.