Considere V=P(R). Sejam a, b in R e f in V^* definida por
f(p)=integrala^b p(x) d x
Se D in L(V, V) é o operador derivação, determine D^t f.

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço V=P(R) de todos os polinômios, define a forma linear
f(p)=integrala^bp(x),dx
em V^* e apresenta o operador derivação D:Vto V. Queremos achar o funcional
D^tfin V^*
cuja definição é D^tf=fcirc D.

Passo 2

Pela definição de transposta, para qualquer polinômio pin V vale
(D^tf)(p)=fl(Dpr)=integrala^b (Dp)(x),dx=integrala^b p'(x),dx

Passo 3

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para polinômios, temos
integrala^b p'(x),dx = p(b)-p(a)

Passo 4

Logo o funcional D^tf avalia um polinômio p pela diferença entre suas avaliações em b e em a. Em outras palavras,
D^tf = de<ab-de<aa,
onde de<ac(p)=p(c).

Resposta

forall pin V: (D^tf)(p)=p(b)-p(a)

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