Verifique que a matriz A=[cc0 & -1 1 & 0] representa um operador linear que realiza a rotação em 90^circ de um vetor do R^2. Mostre que a representação de A na base [l1 1],[c-1 1] é dada por barA=A (é a mesma).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
que, no sistema canônico de , envia
ou seja, realiza uma rotação de no sentido anti-horário. Queremos mostrar que, na base
a matriz de continua sendo
. Para isso vamos usar a ideia de coordenadas de na própria base .]

Passo 2

Calculemos as imagens dos vetores da base B sob A:
A,v1 = A11 = -11 = v2,
A,v2 = A-11 = -1-1 = -,v1
Isso confirma que A gira cada vetor de B em 90^circ.

Passo 3

Para obter a matriz de A em B, escrevemos cada A(vj) como combinação linear de v1,v2:
A(v1) = 0cdot v1 + 1cdot v2, A(v2) = (-1)cdot v1 + 0cdot v2
Logo, as colunas da matriz bar A em relação a B são
bar A = 0 & -1[4pt] 1 & 0 ]

Resposta

bar A = A.

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