Seja A=[ccc-1 / 2 & -3 / 2 & 3 / 2 -3 & 1 & 3 -3 / 2 & 3 / 2 & 5 / 2] uma matriz do R^3 times 3, representando um operador linear na base canônica. Seja [l1 0 1],[c-1 -1 0],[l0 1 1] uma base para o R^3. Obtenha a representação de A nesta base.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = -1/2 & -3/2 & 3/2 -3 & 1 & 3 -3/2 & 3/2 & 5/2
na base canônica e a base
v1 = 101, v2 = -1-10, v3 = 011
Queremos a representação de A nessa nova base. O método é calcular as imagens A(vi) e expressá-las como combinação linear de v1,v2,v3; essas coordenadas formam as colunas de [A]B.

Passo 2

Calculemos A(v1) com v1=(1,0,1).
A(v1)= -1/2cdot1 + -3/2cdot0 + 3/2cdot1 -3cdot1 + 1cdot0 + 3cdot1 -3/2cdot1 + 3/2cdot0 + 5/2cdot1 = 101 =v1
Logo, as coordenadas de A(v1) na base são (1,0,0).

Passo 3

Calculemos A(v2) com v2=(-1,-1,0).
A(v2)= -1/2cdot(-1) + -3/2cdot(-1) + 3/2cdot0 -3cdot(-1) + 1cdot(-1) + 3cdot0 -3/2cdot(-1) + 3/2cdot(-1) + 5/2cdot0 = 220
Procuramos c1,c2,c3 tais que
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 220
Das equações
;c1 - c2 = 2,;-c2 + c3 = 2,;c1 + c3 =0
vem c1=0, c2=-2, c3=0. Então a segunda coluna de [A]B é (0,-2,0).

Passo 4

Calculemos A(v3) com v3=(0,1,1).
A(v3)= -1/2cdot0 + -3/2cdot1 + 3/2cdot1 -3cdot0 + 1cdot1 + 3cdot1 -3/2cdot0 + 3/2cdot1 + 5/2cdot1 = 044
Buscamos d1,d2,d3 tais que
d1v1 + d2v2 + d3v3 = 044
Das equações
;d1 - d2 = 0,;-d2 + d3 = 4,;d1 + d3 =4
vem d1=0, d2=0, d3=4. Logo a terceira coluna de [A]B é (0,0,4).

Passo 5

Reunindo as colunas obtidas, a matriz de A na base v1,v2,v3 é diagonal, com entradas 1,-2,4 na diagonal.

Resposta

[A]B = 1 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 4

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