Seja
o subespaço de
gerado pelos vetores
Determine uma base de
.
Passo 1
O enunciado pede uma base de
Em termos concretos,
. Vamos resolver o sistema linear
cuja solução fornece todos os vetores .
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss:
(subtraindo a primeira linha das outras)
(somando a segunda linha à terceira).
Passo 3
O sistema triangular resultante é
Escolhemos
x4=s e
x5=t como parâmetros livres. Da terceira equação,
Da segunda,
E da primeira,
Passo 4
Em forma vetorial,
Para extrairmos uma base, basta escolher pares
(s,t) que gerem soluções independentes. Por exemplo:
-
Se
, obtemos(s,t)=(1,0)
, que multiplicado porv1=(0,tfrac12,-1,1,0) vira2
.(0,1,-2,2,0) -
Se
, obtemos(s,t)=(0,1)
, que multiplicado porv2=(-tfrac17,tfrac314,-tfrac27,0,1) vira14
.(-2,3,-4,0,14)
Resposta
Uma base de
W^0 é, por exemplo,