Seja W o subespaço de R^5 gerado pelos vetores
u1=(1,2,1,0,0), u2=(1,0,3,3,1) e u3=(1,4,6,4,1)
Determine uma base de W^0.

Passo 1

O enunciado pede uma base de
Em termos concretos, . Vamos resolver o sistema linear
cuja solução fornece todos os vetores .

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss:
1 & 2 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 3 & 3 & 1 1 & 4 & 6 & 4 & 1 ;sim; 1 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & 2 & 3 & 1 0 & 2 & 5 & 4 & 1
(subtraindo a primeira linha das outras)
sim; 1 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & 2 & 3 & 1 0 & 0 & 7 & 7 & 2
(somando a segunda linha à terceira).

Passo 3

O sistema triangular resultante é
x1 + 2x2 + x3 = 0, -2x2 + 2x3 + 3x4 + x5 = 0, 7x3 + 7x4 + 2x5 = 0
Escolhemos x4=s e x5=t como parâmetros livres. Da terceira equação,
x3 = -x4 - 27x5 = -s - 27t
Da segunda,
-2x2 + 2l(-s-27tr) +3s + t = 0 Longrightarrow x2 = tfrac12,s + tfrac314,t
E da primeira,
x1 + 2l(tfrac12,s + tfrac314tr) + l(-s - tfrac27tr) = 0 Longrightarrow x1 = -17,t

Passo 4

Em forma vetorial,
v=(x1,x2,x3,x4,x5) =l(-tfrac17t,;tfrac12,s+tfrac314t,; -,s-tfrac27t,;s,;tr)
Para extrairmos uma base, basta escolher pares (s,t) que gerem soluções independentes. Por exemplo:
  • Se (s,t)=(1,0), obtemos
    v1=(0,tfrac12,-1,1,0), que multiplicado por 2 vira
    (0,1,-2,2,0).
  • Se (s,t)=(0,1), obtemos
    v2=(-tfrac17,tfrac314,-tfrac27,0,1), que multiplicado por 14 vira
    (-2,3,-4,0,14).

Resposta

Uma base de W^0 é, por exemplo,
, (0,1,-2,2,0),;(-2,3,-4,0,14)

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