Explique o teorema central do limite e sua aplicação para a estimação da média amostral. Explicações parciais ou incompletas receberão crédito incompleto.
Passo 1
O enunciado nos pede para explicar o Teorema Central do Limite (TCL) e mostrar como ele nos ajuda a estimar a média de uma população a partir da média de uma amostra. Para isso, vamos precisar dos conceitos de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), da definição de média amostral e de convergência em distribuição.
Passo 2
O enunciado formal do TCL é este:
onde
são i.i.d. com
e
. Em palavras, a soma padronizada dessas variáveis converge em distribuição para a normal padrão conforme
.
Passo 3
As condições essenciais para aplicarmos o TCL são:
Todas as devem ser independentes e identicamente distribuídas, e ter variância finita. A independência impede correlações que atrapalhem a estabilização da soma, e a finitude de
garante que a normalização por
seja válida.
Todas as
Passo 4
Para usar o TCL na média amostral, definimos
Substituindo na padronização do TCL, obtemos
Isto mostra que, para
grande,
é aproximadamente
.
Passo 5
Com essa aproximação normal podemos construir intervalos de confiança para
. Se
for conhecida, então para um nível
temos
onde
é o quantil da normal padrão. Quando
é desconhecida, substituímos por
, o desvio‐padrão amostral, e para
grande a fórmula continua sendo uma boa aproximação.
Resposta
O Teorema Central do Limite afirma que, sob independência e variância finita, a média amostral
tende a distribuir‐se como
para
grande, permitindo assim estimar a média populacional
e construir intervalos de confiança usando a distribuição normal.