Explique o teorema central do limite e sua aplicação para a estimação da média amostral. Explicações parciais ou incompletas receberão crédito incompleto.

Passo 1

O enunciado nos pede para explicar o Teorema Central do Limite (TCL) e mostrar como ele nos ajuda a estimar a média de uma população a partir da média de uma amostra. Para isso, vamos precisar dos conceitos de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), da definição de média amostral e de convergência em distribuição.

Passo 2

O enunciado formal do TCL é este:
\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)}{\sigma\sqrt{n}} \;\xrightarrow{d}\; N(0,1),
onde X_1,\dots,X_n são i.i.d. com \mathbb{E}[X_i]=\mu e \mathrm{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty. Em palavras, a soma padronizada dessas variáveis converge em distribuição para a normal padrão conforme n\to\infty.

Passo 3

As condições essenciais para aplicarmos o TCL são:
Todas as X_i devem ser independentes e identicamente distribuídas, e ter variância finita. A independência impede correlações que atrapalhem a estabilização da soma, e a finitude de \sigma^2 garante que a normalização por \sqrt{n} seja válida.

Passo 4

Para usar o TCL na média amostral, definimos
\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.
Substituindo na padronização do TCL, obtemos
\frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1).
Isto mostra que, para n grande, \bar X é aproximadamente \mathcal{N}(\mu,\sigma^2/n).

Passo 5

Com essa aproximação normal podemos construir intervalos de confiança para \mu. Se \sigma for conhecida, então para um nível 100(1-\alpha)\% temos
\mu \approx \bar X \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão. Quando \sigma é desconhecida, substituímos por s, o desvio‐padrão amostral, e para n grande a fórmula continua sendo uma boa aproximação.

Resposta

O Teorema Central do Limite afirma que, sob independência e variância finita, a média amostral \bar X tende a distribuir‐se como \mathcal{N}(\mu,\sigma^2/n) para n grande, permitindo assim estimar a média populacional \mu e construir intervalos de confiança usando a distribuição normal.

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