Considere
.
7) Encontre uma aproximação para
, das seguintes formas:
(a) pelo método de Newton-Raphson aplicado a função
tomando como aproximação inicial
;
(b) pelo método da bisseção aplicado a função
no intervalo
.
Use a precisão
.
Compare os métodos utilizados considerando a garantia e rapidez da convergência e eficiência computacional em cada caso.
7) Encontre uma aproximação para
(a) pelo método de Newton-Raphson aplicado a função
(b) pelo método da bisseção aplicado a função
Compare os métodos utilizados considerando a garantia e rapidez da convergência e eficiência computacional em cada caso.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que vou usar na resolução).
- Função dada:
. - Observação: a raiz de
satisfaz , portanto a raiz é (objetivo: aproximar ). - Dados para os métodos:
- (a) Método de Newton-Raphson com aproximação inicial
. - (b) Método da bisseção no intervalo
.
- (a) Método de Newton-Raphson com aproximação inicial
- Precisão pedida: usar
(vou adotar essa precisão para as regras de parada). - O enunciado pede também comparar garantia, rapidez da convergência e eficiência computacional entre os métodos.
Passo 2
Breve explicação didática do método de Newton-Raphson e da escolha de critério de parada.
- Ideia do método de Newton: a cada iteração aproxima-se a raiz pela interseção da reta tangente à curva
em com o eixo . A fórmula geral é
Aqui
, então
- Substituindo na fórmula do método:
Essa forma simplificada é útil: para cada iteração basta calcular
e multiplicar.
- Critério de parada escolhido (comum e prático): parar quando a diferença entre iterações consecutivas for menor que a precisão, isto é
Explicação curta: isso garante que a sequência já está praticamente estacionária na precisão desejada. Outra opção seria usar
; ambas são válidas, mas vou usar o critério de diferença entre iterações por ser simples e controlável.
Passo 3
Iterações do método de Newton com
, começando em
.
-
Iteração 0 → 1:Aplicando a fórmulaDiferença:
(ainda > ). -
Iteração 1 → 2:
Calcular. É conveniente usar expansão em torno de para estimar com precisão: entãoDiferença:(ainda > ). -
Iteração 2 → 3:
Calcular. Como já está muito próximo de , usando expansão: entãoDiferença:, que é menor que . Portanto paramos. -
Conclusão do Newton: a aproximação obtida com o critério adotado éobtida em 3 iterações (ou seja, foram computados
a partir de ).
Observação didática: o método de Newton, quando converge, converge muito rápido (convergência quadrática) — por isso a boa precisão já em poucas iterações. Contudo a convergência quadrática é local: exige que a aproximação inicial esteja razoavelmente perto da raiz e que
na vizinhança.
Passo 4
Didática sobre o método da bisseção e escolha do critério de parada.
-
Ideia do método da bisseção: se
é contínua num intervalo e , então existe pelo menos uma raiz em . Repetidamente divide-se o intervalo ao meio e escolhe-se o subintervalo onde ocorre a troca de sinal. A vantagem é a garantia global de convergência (desde que a hipótese de continuidade e troca de sinal valham). -
No nosso caso:
e . Logo existe raiz em . -
Cota do erro após
iterações: o comprimento do intervalo após bisseções é Para garantir erro menor que(na norma do intervalo), exige-se Aquie , logo portanto são necessáriasiterações (basta arredondar para cima).
Passo 5
Execução das 14 bisseções (mostro as midpoints importantes e o sinal de
em cada uma; isto serve para ver por que escolhemos o subintervalo).
- Iteração 1:
. . Novo intervalo: . - Iteração 2:
. . Novo intervalo: . - Iteração 3:
. . Novo intervalo: . - Iteração 4:
. . Novo intervalo: . - Iteração 5:
. . Novo intervalo: . - Iteração 6:
. . Novo intervalo: . - Iteração 7:
. . Novo intervalo: . - Iteração 8:
. . Novo intervalo: . - Iteração 9:
. . Novo intervalo: . - Iteração 10:
. . Novo intervalo: . - Iteração 11:
. . Novo intervalo: . - Iteração 12:
. . Novo intervalo: . - Iteração 13:
. . Novo intervalo: . - Iteração 14:
. . Novo intervalo final: .
Após 14 iterações o comprimento do intervalo é
logo qualquer ponto do intervalo garante erro menor que
. Tomando o ponto central do intervalo final como aproximação (prática comum), temos
Passo 6
Verificações finais de erro e conclusão numérica.
- Erro real de cada método em relação ao valor verdadeiro
: - Newton (após 3 iterações):
. Erro até a precisão mostrada (estima-se ). - Bisseção (após 14 iterações):
. Erro aproximado .
- Newton (após 3 iterações):
Passo 7
Comparação entre os métodos — garantia, rapidez da convergência e eficiência computacional (explicação amigável).
-
Garantia de convergência:
- Bisseção: tem garantia global de convergência sempre que
for contínua no intervalo e . Não corre o risco de “divergir” ou de saltar para uma raiz errada; é muito robusto. - Newton: não tem garantia global — pode divergir ou convergir para uma raiz diferente se a aproximação inicial for ruim, ou travar se
for zero ou muito pequeno. Porém, quando converge numa vizinhança da raiz, costuma convergir extremamente rápido (quadraticamente).
- Bisseção: tem garantia global de convergência sempre que
-
Rapidez da convergência:
- Bisseção: convergência linear. Para alcançar precisão
precisa iterações (aqui, ). - Newton: convergência quadrática local; tipicamente precisa pouquíssimas iterações (aqui, 3 iterações) para atingir a mesma precisão. Portanto Newton foi muito mais rápido em número de iterações.
- Bisseção: convergência linear. Para alcançar precisão
-
Eficiência computacional por iteração:
- Cada iteração de bisseção exige uma avaliação de
(aqui em ponto médio). - Cada iteração de Newton exige avaliação de
e de (aqui é simples ) — efetivamente exige calcular e fazer uma multiplicação/divisão. Em termos de custo, ambos exigem avaliação de por iteração, então o custo por iteração é comparável; como Newton precisa de muito menos iterações, geralmente é mais eficiente. - Observação prática: se a avaliação de
for muito cara, o baixo número de iterações de Newton compensa. Se não se tem boa aproximação inicial, pode-se combinar: usar bisseção até estar “perto” e depois Newton (estratégia híbrida muito usada).
- Cada iteração de bisseção exige uma avaliação de
-
Resumo prático e recomendação:
- Bisseção: quando se quer segurança e garantia (ex.: início de algoritmo, caso de função complicada), usar bisseção é seguro.
- Newton: quando se tem uma boa aproximação inicial e
e são fáceis de calcular, Newton é muito mais rápido e eficiente. - Para esta questão: com
Newton convergiu rápido (3 iterações) e é a escolha mais eficiente; a bisseção também funcionou e garantiu precisão com 14 iterações.
Resposta
(a)
(b)
(b)