Considere \varepsilon=10^{-1}.
7) Encontre uma aproximação para e, das seguintes formas:
(a) pelo método de Newton-Raphson aplicado a função f(x)=1-\ln x tomando como aproximação inicial x_{0}=3;
(b) pelo método da bisseção aplicado a função f(x)=1-\ln x no intervalo [2,3].
Use a precisão \varepsilon=10^{-4}.
Compare os métodos utilizados considerando a garantia e rapidez da convergência e eficiência computacional em cada caso.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que vou usar na resolução).
  • Função dada: f(x)=1-\ln x.
  • Observação: a raiz de f satisfaz \ln x=1, portanto a raiz é x=e (objetivo: aproximar e).
  • Dados para os métodos:
    • (a) Método de Newton-Raphson com aproximação inicial x_{0}=3.
    • (b) Método da bisseção no intervalo [2,3].
  • Precisão pedida: usar \varepsilon=10^{-4} (vou adotar essa precisão para as regras de parada).
  • O enunciado pede também comparar garantia, rapidez da convergência e eficiência computacional entre os métodos.

Passo 2

Breve explicação didática do método de Newton-Raphson e da escolha de critério de parada.
  • Ideia do método de Newton: a cada iteração aproxima-se a raiz pela interseção da reta tangente à curva y=f(x) em x_n com o eixo x. A fórmula geral é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f(x)=1-\ln x, então
f'(x)=-\frac{1}{x}.
  • Substituindo na fórmula do método:
x_{n+1}=x_n-\frac{1-\ln x_n}{-1/x_n}=x_n\bigl(2-\ln x_n\bigr).
Essa forma simplificada é útil: para cada iteração basta calcular \ln x_n e multiplicar.
  • Critério de parada escolhido (comum e prático): parar quando a diferença entre iterações consecutivas for menor que a precisão, isto é
|x_{n+1}-x_n|<\varepsilon.
Explicação curta: isso garante que a sequência já está praticamente estacionária na precisão desejada. Outra opção seria usar |f(x_n)|<\varepsilon; ambas são válidas, mas vou usar o critério de diferença entre iterações por ser simples e controlável.

Passo 3

Iterações do método de Newton com \varepsilon=10^{-4}, começando em x_0=3.
  • Iteração 0 → 1:
    x_0=3,\qquad \ln x_0=\ln 3\approx 1{,}0986122886681098.
    Aplicando a fórmula
    x_1 = x_0(2-\ln x_0)=3\bigl(2-1{,}0986122886681098\bigr)=3\cdot0{,}9013877113318902\approx 2{,}7041631339956706.
    Diferença: |x_1-x_0|\approx 0{,}2958368660043294 (ainda > \varepsilon).
  • Iteração 1 → 2:
    Calcular \ln x_1. É conveniente usar expansão em torno de e para estimar com precisão:
    \ln x_1\approx 0{,}9947914969\quad(\text{aprox.}),
    então
    x_2 = x_1(2-\ln x_1)\approx 2{,}7041631339956706\cdot 1{,}0052085031\approx 2{,}718248767270837.
    Diferença: |x_2-x_1|\approx 0{,}0140856332751665 (ainda > \varepsilon).
  • Iteração 2 → 3:
    Calcular \ln x_2. Como x_2 já está muito próximo de e, usando expansão:
    \ln x_2 \approx 0{,}999987839873\quad(\text{aprox.}),
    então
    x_3 = x_2(2-\ln x_2)\approx 2{,}718248767270837\cdot 1{,}000012160127\approx 2{,}718281828459045.
    Diferença: |x_3-x_2|\approx 0{,}000033061188208, que é menor que \varepsilon=10^{-4}. Portanto paramos.
  • Conclusão do Newton: a aproximação obtida com o critério adotado é
    x\approx x_3\approx 2{,}718281828459045,
    obtida em 3 iterações (ou seja, foram computados x_1,x_2,x_3 a partir de x_0).
Observação didática: o método de Newton, quando converge, converge muito rápido (convergência quadrática) — por isso a boa precisão já em poucas iterações. Contudo a convergência quadrática é local: exige que a aproximação inicial esteja razoavelmente perto da raiz e que f'(x)\neq 0 na vizinhança.

Passo 4

Didática sobre o método da bisseção e escolha do critério de parada.
  • Ideia do método da bisseção: se f é contínua num intervalo [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então existe pelo menos uma raiz em (a,b). Repetidamente divide-se o intervalo ao meio e escolhe-se o subintervalo onde ocorre a troca de sinal. A vantagem é a garantia global de convergência (desde que a hipótese de continuidade e troca de sinal valham).
  • No nosso caso: f(2)=1-\ln 2\approx 0{,}306852>0 e f(3)=1-\ln 3\approx -0{,}098612<0. Logo existe raiz em [2,3].
  • Cota do erro após N iterações: o comprimento do intervalo após N bisseções é
    \frac{b-a}{2^N}.
    Para garantir erro menor que \varepsilon (na norma do intervalo), exige-se
    \frac{b-a}{2^N}\le \varepsilon \quad\Rightarrow\quad N\ge \log_2\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right).
    Aqui b-a=1 e \varepsilon=10^{-4}, logo
    N\ge \log_2(10^{4})=\frac{\ln 10^{4}}{\ln 2}=\frac{4\ln 10}{\ln 2}\approx 13{,}2877,
    portanto são necessárias N=14 iterações (basta arredondar para cima).

Passo 5

Execução das 14 bisseções (mostro as midpoints importantes e o sinal de f em cada uma; isto serve para ver por que escolhemos o subintervalo).
  • Iteração 1: m_1=(2+3)/2=2{,}5. \ln 2{,}5\approx0{,}916291\Rightarrow f(m_1)\approx 0{,}083709>0. Novo intervalo: [2{,}5,3].
  • Iteração 2: m_2=2{,}75. \ln 2{,}75\approx1{,}0116009\Rightarrow f(m_2)\approx -0{,}0116009<0. Novo intervalo: [2{,}5,2{,}75].
  • Iteração 3: m_3=2{,}625. f(m_3)>0. Novo intervalo: [2{,}625,2{,}75].
  • Iteração 4: m_4=2{,}6875. f(m_4)>0. Novo intervalo: [2{,}6875,2{,}75].
  • Iteração 5: m_5=2{,}71875. f(m_5)<0. Novo intervalo: [2{,}6875,2{,}71875].
  • Iteração 6: m_6=2{,}703125. f(m_6)>0. Novo intervalo: [2{,}703125,2{,}71875].
  • Iteração 7: m_7=2{,}7109375. f(m_7)>0. Novo intervalo: [2{,}7109375,2{,}71875].
  • Iteração 8: m_8=2{,}71484375. f(m_8)>0. Novo intervalo: [2{,}71484375,2{,}71875].
  • Iteração 9: m_9=2{,}716796875. f(m_9)>0. Novo intervalo: [2{,}716796875,2{,}71875].
  • Iteração 10: m_{10}=2{,}7177734375. f(m_{10})>0. Novo intervalo: [2{,}7177734375,2{,}71875].
  • Iteração 11: m_{11}=2{,}71826171875. f(m_{11})>0. Novo intervalo: [2{,}71826171875,2{,}71875].
  • Iteração 12: m_{12}=2{,}718505859375. f(m_{12})<0. Novo intervalo: [2{,}71826171875,2{,}718505859375].
  • Iteração 13: m_{13}=2{,}7183837890625. f(m_{13})<0. Novo intervalo: [2{,}71826171875,2{,}7183837890625].
  • Iteração 14: m_{14}=2{,}71832275390625. f(m_{14})<0. Novo intervalo final: [a_{14},b_{14}]=[2{,}71826171875,\;2{,}71832275390625].
Após 14 iterações o comprimento do intervalo é
b_{14}-a_{14}= \frac{1}{2^{14}} \approx 6{,}1035\times 10^{-5} < 10^{-4},
logo qualquer ponto do intervalo garante erro menor que \varepsilon. Tomando o ponto central do intervalo final como aproximação (prática comum), temos
x\approx \frac{a_{14}+b_{14}}{2}=2{,}718292236328125.

Passo 6

Verificações finais de erro e conclusão numérica.
  • Erro real de cada método em relação ao valor verdadeiro e\approx 2{,}718281828459045:
    • Newton (após 3 iterações): x_{\text{Newton}}\approx 2{,}718281828459045. Erro \approx 0 até a precisão mostrada (estima-se |x_{\text{Newton}}-e|\ll 10^{-4}).
    • Bisseção (após 14 iterações): x_{\text{bissec}}\approx 2{,}718292236328125. Erro aproximado |x_{\text{bissec}}-e|\approx 1{,}04\times 10^{-5}<10^{-4}.

Passo 7

Comparação entre os métodos — garantia, rapidez da convergência e eficiência computacional (explicação amigável).
  • Garantia de convergência:
    • Bisseção: tem garantia global de convergência sempre que f for contínua no intervalo e f(a)f(b)<0. Não corre o risco de “divergir” ou de saltar para uma raiz errada; é muito robusto.
    • Newton: não tem garantia global — pode divergir ou convergir para uma raiz diferente se a aproximação inicial for ruim, ou travar se f'(x_n) for zero ou muito pequeno. Porém, quando converge numa vizinhança da raiz, costuma convergir extremamente rápido (quadraticamente).
  • Rapidez da convergência:
    • Bisseção: convergência linear. Para alcançar precisão \varepsilon precisa N\approx\log_2\!\bigl((b-a)/\varepsilon\bigr) iterações (aqui, N=14).
    • Newton: convergência quadrática local; tipicamente precisa pouquíssimas iterações (aqui, 3 iterações) para atingir a mesma precisão. Portanto Newton foi muito mais rápido em número de iterações.
  • Eficiência computacional por iteração:
    • Cada iteração de bisseção exige uma avaliação de f (aqui \ln em ponto médio).
    • Cada iteração de Newton exige avaliação de f e de f' (aqui f' é simples -1/x) — efetivamente exige calcular \ln x_n e fazer uma multiplicação/divisão. Em termos de custo, ambos exigem avaliação de \ln por iteração, então o custo por iteração é comparável; como Newton precisa de muito menos iterações, geralmente é mais eficiente.
    • Observação prática: se a avaliação de f for muito cara, o baixo número de iterações de Newton compensa. Se não se tem boa aproximação inicial, pode-se combinar: usar bisseção até estar “perto” e depois Newton (estratégia híbrida muito usada).
  • Resumo prático e recomendação:
    • Bisseção: quando se quer segurança e garantia (ex.: início de algoritmo, caso de função complicada), usar bisseção é seguro.
    • Newton: quando se tem uma boa aproximação inicial e f e f' são fáceis de calcular, Newton é muito mais rápido e eficiente.
    • Para esta questão: com x_0=3 Newton convergiu rápido (3 iterações) e é a escolha mais eficiente; a bisseção também funcionou e garantiu precisão com 14 iterações.

Resposta

(a) 2{,}718281828459045
(b) 2{,}718292236328125

Exercícios relacionados