Utilize o método de Newton-Raphson aplicado a função
tomando como primeira aproximação
para determinar um valor aproximado para
com erro menor que
.
Passo 1
O enunciado pede aplicar o método de Newton–Raphson na função
com primeira aproximação
, de modo a obter um valor aproximado para
cujo erro absoluto seja menor que
.
Informações dadas:
- Função:
. - Aproximação inicial:
. - Critério de precisão: erro absoluto menor que
, ou seja, queremos .
Passo 2
Vou relembrar e explicar o método que estamos usando (Newton–Raphson) de forma didática.
O método de Newton procura a raiz de uma função
iterando a fórmula
Aqui
é a derivada de
. A ideia geométrica: em
traça-se a reta tangente ao gráfico de
e toma-se a interseção dessa reta com o eixo
; essa interseção é
. Esse método costuma convergir rápido (quadraticamente) quando a aproximação inicial está razoavelmente perto da raiz.
No nosso caso
, portanto
Substituindo na fórmula de Newton obtemos a iteração específica
Ou seja, cada passo é simplesmente
.
Observação útil: as raízes de
são
(
inteiro). Como
está perto de
, o método deve convergir para
.
Passo 3
Vou calcular a primeira iteração
.
Precisamos de
e
. Valores conhecidos (suficientemente precisos):
Então
Portanto
Passo 4
Verifico o erro de
em relação a
. A diferença
Esse erro é maior que a tolerância
, então preciso iterar novamente.
Comentário didático: perto de
podemos escrever
com
pequeno; então
e
. Por isso a iteração corrige rapidamente o erro (fenômeno da convergência quadrática).
Passo 5
Faço a segunda iteração
. Em vez de recalcular seno e cosseno com tabelas longas, uso a aproximação em torno de
:
defina
defina
Então
e
Calculemos numericamente (mantendo precisão suficiente):
Logo
Assim
Portanto
Passo 6
Agora verifico o erro de
em relação a
:
Esse erro é muito menor que a tolerância pedida
. Portanto já alcançamos a precisão desejada após duas iterações.
Comentário final didático: isso mostra a vantagem do método de Newton — a convergência foi muito rápida (de ordem quadrática). Na prática, por segurança, em provas costuma-se parar quando
tolerância ou quando
tolerância; aqui a verificação direta em relação a
confirmou a precisão exigida.