Considere a variável aleatória contínua
com densidade:
(a) Escreva a função geradora de momentos
como uma integral.
(b) Calcule:
Dica: use integração por partes duas vezes ou utilize substituição apropriada.
(c) Derive a expressão encontrada para obter
e
, e calcule:
(d) Calcule a variância de
:
)
(b) Calcule:
(c) Derive a expressão encontrada para obter
Passo 1
O enunciado define a variável contínua
com densidade
e pede
– (a) a função geradora de momentos ,
– (b) o cálculo efetivo dessa integral,
– (c) suas derivadas em zero para obter e
,
– (d) a variância .
Vamos usar definição de MGF, integração por partes e propriedades de derivadas de MGFs.
– (a) a função geradora de momentos
– (b) o cálculo efetivo dessa integral,
– (c) suas derivadas em zero para obter
– (d) a variância
Vamos usar definição de MGF, integração por partes e propriedades de derivadas de MGFs.
Passo 2
Pela definição de função geradora de momentos, escrevemos
Passo 3
Para calcular
fazemos duas integrações por partes padrão e obtemos
Multiplicando por 3,
Passo 4
Pela definição de derivadas de MGF:
Então, em
:
Passo 5
A variância é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)