Considere a variável aleatória contínua Y com densidade:
f(y)=3 y^2, para y in[0,1]
(a) Escreva a função geradora de momentos MY(t)=E(e^t Y) como uma integral.
(b) Calcule:
MY(t)=integral0^1 e^t y cdot 3 y^2 d y
Dica: use integração por partes duas vezes ou utilize substituição apropriada.
(c) Derive a expressão encontrada para obter MY^prime(t) e MY^prime prime(t), e calcule:
E(Y)=MY^prime(0), E(Y^2)=MY^prime prime(0)
(d) Calcule a variância de Y :
Var(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2
)

Passo 1

O enunciado define a variável contínua Y com densidade
f(y)=3y^2, yin[0,1]
e pede
– (a) a função geradora de momentos MY(t)=E(e^tY),
– (b) o cálculo efetivo dessa integral,
– (c) suas derivadas em zero para obter E(Y) e E(Y^2),
– (d) a variância Var(Y).
Vamos usar definição de MGF, integração por partes e propriedades de derivadas de MGFs.

Passo 2

Pela definição de função geradora de momentos, escrevemos
MY(t)=E(e^tY) =integral0^1e^t y,f(y),dy =integral0^1e^t ycdot 3y^2,dy

Passo 3

Para calcular
I=integral0^1y^2e^t y,dy
fazemos duas integrações por partes padrão e obtemos
I=[y^2e^tyt-2y,e^tyt^2+2e^tyt^3]0^1 =e^tt-2e^tt^2+2e^tt^3-2t^3
Multiplicando por 3,
MY(t)=3I =3e^t(t^2-2t+2)-6t^3

Passo 4

Pela definição de derivadas de MGF:
MY'(t) =integral0^1y,3y^2e^ty,dy =3integral0^1y^3e^ty,dy, MY''(t) =3integral0^1y^4e^ty,dy
Então, em t=0:
E(Y)=MY'(0) =3integral0^1y^3,dy =34, E(Y^2)=MY''(0) =3integral0^1y^4,dy =35

Passo 5

A variância é
Var(Y) =E(Y^2)-[E(Y)]^2 =35-l(34r)^2 =380

Resposta

(a)
MY(t)=integral0^1e^tycdot 3y^2,dy
(b)
MY(t)=3e^t(t^2-2t+2)-6t^3
(c)
E(Y)=MY'(0)=34, E(Y^2)=MY''(0)=35
(d)
Var(Y)=380

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