Considere a variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:
0 0,2
1 0,5
2 0,3
a) Construa a função geradora de momentos .
b) Calcule:
e use esses valores para obter:
c) Interprete o que os resultados significam sobre o comportamento da variável .

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X com distribuição
c|c x & P(X=x)hline 0 & 0,2 1 & 0,5 2 & 0,3
e pede:
– (a) a função geradora de momentos MX(t)=E(e^tX);
– (b) MX'(0), MX''(0) e daí obter E(X), E(X^2), Var(X);
– (c) interpretação dos resultados.
O conteúdo usado será definição de MGF, derivação e relações com momentos.

Passo 2

Pela definição de MGF,
MX(t)=E(e^tX)=sumx e^t x,P(X=x)
Substituindo os valores dados:
MX(t)=0,2,e^tcdot 0+0,5,e^tcdot 1+0,3,e^tcdot 2 =0,2+0,5,e^t+0,3,e^2t

Passo 3

Para obter E(X)=MX'(0), calculamos a primeira derivada:
MX'(t)=ddtl(0,2+0,5,e^t+0,3,e^2tr) =0,5,e^t+0,6,e^2t
Avaliando em t=0:
MX'(0)=0,5+0,6=1,1

Passo 4

Para E(X^2)=MX''(0), achamos a segunda derivada:
MX''(t)=ddtl(0,5,e^t+0,6,e^2tr) =0,5,e^t+1,2,e^2t
Em t=0:
MX''(0)=0,5+1,2=1,7

Passo 5

A variância sai da relação
Var(X)=E(X^2)-l[E(X)r]^2 =1,7-(1,1)^2=1,7-1,21=0,49

Passo 6

Interpretação:
  • E(X)=1,1 é o valor médio de X, ou seja, em média X vale um pouco acima de 1.
  • E(X^2)=1,7 é o segundo momento, que junto com o quadrado da média dá a variância.
  • Var(X)=0,49 indica dispersão moderada: os valores de X ficam razoavelmente concentrados em torno de 1,1, com desvio-padrão raiz0,49=0,7.

Resposta

Média E(X)=1,1, segundo momento E(X^2)=1,7, variância Var(X)=0,49, e MGF
MX(t)=0,2+0,5,e^t+0,3,e^2t

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