Considere a variável aleatória discreta X, cuja distribuição de probabilidade é dada por
x 2 3 4 5
P(X=x) 0,2 0,6 0,1 0,1
Calcule:
E(e^X)

Passo 1

O exercício pede para calcular a esperança de uma função de uma variável aleatória discreta:
– Enunciado resumido: temos El(e^Xr) que só pode valer 2, 3, 4 ou 5, com probabilidades dadas. Queremos encontrar
El(g(X)r)=sumx g(x),P(X=x)
– Conteúdo da matéria: valor esperado (ou esperança) de uma função de .
– O que precisamos: saber que, para qualquer função ,

Passo 2

Aplicando a definição ao nosso caso, tomamos El(e^Xr) =sumxin2,3,4,5e^x,P(X=x) . Logo
Aqui a teoria é simples: você soma, para cada valor , o produto do valor da função pela probabilidade .

Passo 3

Agora é só listar os termos e montar a soma:
El(e^Xr) = e^2cdot0,2 ;+; e^3cdot0,6 ;+; e^4cdot0,1 ;+; e^5cdot0,1

Passo 4

Se a gente quiser um número aproximado, usa valores de e^2approx7,389, e^3approx20,085, e^4approx54,598, e^5approx148,413 :
El(e^Xr) &approx0,2cdot7,389+0,6cdot20,085+0,1cdot54,598+0,1cdot148,413 &approx1,478;+;12,051;+;5,460;+;14,841 &approx33,83
Então

Resposta

El(e^Xr) =0,2,e^2 + 0,6,e^3 + 0,1,e^4 + 0,1,e^5 approx33,83

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