Suponha que queiramos testar
contra
, em que
é a média de uma normal
. Extraída uma amostra de
elementos da população, obtemos
.
Realize um teste de hipóteses considerando
com as informações mencionadas acima e calcule o valor-p.
Realize um teste de hipóteses considerando
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que fazer um teste de hipóteses para ver se a média da população é 50 ou não. A população segue uma distribuição normal com variância 900 (ou seja, desvio padrão de 30). Tiramos uma amostra de 36 elementos e a média dessa amostra foi 52. A gente vai usar um nível de significância de 1% para esse teste e também precisa calcular o valor-p.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula $ H_0 $ é que a média $ \mu $ da população é igual a 50. A hipótese alternativa $ H_1 $ é que $ \mu $ é diferente de 50.
Passo 3
Agora, vamos determinar o nível de significância, que é $ \alpha = 1% $ ou 0,01. Esse é o risco que estamos dispostos a correr de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão é dado por:
Onde:
- $ \sigma = 30 $ (desvio padrão da população)
- $ n = 36 $ (tamanho da amostra)
Então:
Passo 5
Com o erro padrão calculado, vamos encontrar o valor do teste estatístico $ z $. A fórmula para o teste é:
Onde:
- $ \bar{X} = 52 $ (média da amostra)
- $ \mu_0 = 50 $ (média hipotética)
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor-p. Como o teste é bilateral (porque a hipótese alternativa é $ \mu \neq 50 $), o valor-p será duas vezes a probabilidade de obter um valor de $ z $ maior que 0,4 na distribuição normal padrão.
Usando uma tabela de valores $ z $ ou uma calculadora, encontramos que:
Então, o valor-p é:
Resposta
O valor-p calculado é aproximadamente 0,6892.