Suponha que queiramos testar H0: mu=50 contra H1: mu neq 50, em que mu é a média de uma normal N(mu, 900). Extraída uma amostra de n=36 elementos da população, obtemos barX=52.
Realize um teste de hipóteses considerando alpha=1 % com as informações mencionadas acima e calcule o valor-p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que fazer um teste de hipóteses para ver se a média da população é 50 ou não. A população segue uma distribuição normal com variância 900 (ou seja, desvio padrão de 30). Tiramos uma amostra de 36 elementos e a média dessa amostra foi 52. A gente vai usar um nível de significância de 1% para esse teste e também precisa calcular o valor-p.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula $ H_0 $ é que a média $ \mu $ da população é igual a 50. A hipótese alternativa $ H_1 $ é que $ \mu $ é diferente de 50.
H0
mu

Passo 3

Agora, vamos determinar o nível de significância, que é $ \alpha = 1% $ ou 0,01. Esse é o risco que estamos dispostos a correr de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão é dado por:
Erro Padrão = sigmaraizn ã
Onde:
  • $ \sigma = 30 $ (desvio padrão da população)
  • $ n = 36 $ (tamanho da amostra)
Então:
sigma = 30 ã

Passo 5

Com o erro padrão calculado, vamos encontrar o valor do teste estatístico $ z $. A fórmula para o teste é:
z ã
Onde:
  • $ \bar{X} = 52 $ (média da amostra)
  • $ \mu_0 = 50 $ (média hipotética)
Então:
z = barX - mu0Erro Padrão

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor-p. Como o teste é bilateral (porque a hipótese alternativa é $ \mu \neq 50 $), o valor-p será duas vezes a probabilidade de obter um valor de $ z $ maior que 0,4 na distribuição normal padrão.
Usando uma tabela de valores $ z $ ou uma calculadora, encontramos que:
mu neq 50
Então, o valor-p é:
z

Resposta

O valor-p calculado é aproximadamente 0,6892.

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