Se X sim Binomial(n, p), sabe-se que E(X)=12 e Var(X)=3, determine
P(X >= 14)

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma variável aleatória E(X)=12 e Var(X)=3 com distribuição Binomial P(X>=14) e já sabemos que
A ideia é encontrar e usando as fórmulas de esperança e variância da Binomial, e depois calcular
Conteúdo: propriedades da distribuição Binomial (fórmulas de e ), cálculo de combinações e soma de probabilidades.

Passo 2

Primeiro, lembrando da teoria:
  • Para E(X)=n,p, , Var(X)=n,p,(1-p)
  • e n,p = 12 e n,p,(1-p)=3
A gente já tem
Então é resolver esse sisteminha para e .

Passo 3

Vamos lá: da primeira equação n = 12p , a gente tira
(12),(1-p)=3 Longrightarrow 1-p=312=14 Longrightarrow p=34
Substitui na segunda :
E daí
Então .

Passo 4

Agora a gente quer
P(X>=14) = P(X=14)+P(X=15)+P(X=16)
Lembrando que
P(X=k) =binom16kl(tfrac34r)^kl(tfrac14r)^16-k
Então:
P(X=14) &=binom1614l(tfrac34r)^14l(tfrac14r)^2, P(X=15) &=binom1615l(tfrac34r)^15l(tfrac14r)^1, P(X=16) &=binom1616l(tfrac34r)^16l(tfrac14r)^0

Passo 5

Só fazer as contas (você pode usar calculadora ou deixar em forma de soma). Numericamente dá aproximadamente
P(X>=14) approx 0,1335 + 0,0534 + 0,0100 approx 0,197

Resposta

boxedP(X>=14)approx0,197

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