& widehattheta1=Xn & widehattheta2=X1+X2+Xn4 & widehattheta3=X1+2 Xn3
a) Verifique quais estimadores são viesados. Além disso, calcule o viés para cada um deles.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem três estimadores para um parâmetro theta e quer saber quais deles são viesados, ou seja, se eles realmente estimam theta de forma correta ou não. Para isso, vamos precisar entender o que é viés e como calcular o viés de cada um desses estimadores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um estimador ser viesado. Um estimador é viesado se a sua média (esperança matemática) não é igual ao parâmetro que estamos tentando estimar. Matematicamente, o viés de um estimador widehattheta é dado por:
Viés(widehattheta) = E[widehattheta] - theta é
Se o viés for zero, o estimador é não viesado.

Passo 3

Vamos analisar cada estimador separadamente.

Estimador 1: widehattheta1 = Xn

Cálculo da Esperança:
E[widehattheta1] = E[Xn]
Assumindo que cada Xi tem esperança theta, temos:
E[Xn] = theta
Cálculo do Viés:
Viés(widehattheta1) = E[widehattheta1] - theta = theta - theta = 0 é
Conclusão: widehattheta1 é não viesado.

Estimador 2: widehattheta2 = X1 + X2 + Xn4

Cálculo da Esperança:
E[widehattheta2] = E[X1 + X2 + Xn4] = E[X1] + E[X2] + E[Xn]4
Como cada E[Xi] = theta:
E[widehattheta2] = theta + theta + theta4 = 3theta4
Cálculo do Viés:
Viés(widehattheta2) = E[widehattheta2] - theta = 3theta4 - theta = -theta4 é
Conclusão: widehattheta2 é viesado com um viés de -theta4.

Estimador 3: widehattheta3 = X1 + 2Xn3

Cálculo da Esperança:
E[widehattheta3] = E[X1 + 2Xn3] = E[X1] + 2E[Xn]3
Como cada E[Xi] = theta:
E[widehattheta3] = theta + 2theta3 = 3theta3 = theta
Cálculo do Viés:
Viés(widehattheta3) = E[widehattheta3] - theta = theta - theta = 0 é
Conclusão: widehattheta3 é não viesado.

Resposta

Dos três estimadores fornecidos:
  • widehattheta1 e widehattheta3 são não viesados (viés igual a zero).
  • widehattheta2 é viesado com um viés de -theta4.

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