Considere uma variável aleatória discreta X cuja função de probabilidade é dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} k x, & x=1,2,3,4 \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array} .\right.á
Pede-se:
a. Determine o valor de k. (resp: \mathrm{k}=0.1 )
b. Encontre a função de distribuição F(x) e esboce o seu gráfico.
c. Determine a média e a variância de X. (resp: E(X)=3 ; V(X)=1 )

Passo 1

O enunciado dá a função de probabilidade discreta
f(x)=\begin{cases} k\,x, & x=1,2,3,4,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede três coisas:
  1. determinar o valor de k;
  2. encontrar a função de distribuição F(x) (ou seja, a CDF) e esboçar seu gráfico;
  3. calcular a média e a variância de X.
    Informações relevantes dadas: os possíveis valores de X são \,1,2,3,4 e a probabilidade em cada ponto é proporcional a x via o fator k.]

Passo 2

Primeira regra que usamos: as probabilidades devem somar 1. Para variável discreta com suporte \{1,2,3,4\} temos
\sum_{x=1}^{4} f(x)=1.
Como f(x)=k x nos pontos dados, substituímos:
\sum_{x=1}^{4} kx = k\sum_{x=1}^{4} x = 1.
Agora calcule a soma \sum_{x=1}^{4} x. Fazendo na unha:
1+2+3+4=10.
Logo
k\cdot 10 = 1 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{1}{10}=0{,}1.

Passo 3

Agora que já sabemos k, vamos montar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x). Explicação do conceito: para variável discreta F(x) é a soma das probabilidades de todos os pontos do suporte menores ou iguais a x. Como X só pode assumir os valores 1,2,3,4, a CDF será uma função em degraus (passos) que aumenta exatamente nos pontos x=1,2,3,4. A CDF é sempre direita-contínua, ou seja, o valor em cada ponto x_0 é F(x_0)=P(X\le x_0).

Passo 4

Calculemos as probabilidades individuais usando k=0{,}1\): \[f(1)=0{,}1\cdot 1=0{,}1,\quad f(2)=0{,}1\cdot 2=0{,}2,\quad f(3)=0{,}1\cdot 3=0{,}3,\quad f(4)=0{,}1\cdot 4=0{,}4.
Verificação rápida: 0{,}1+0{,}2+0{,}3+0{,}4=1. Agora montamos F(x) por intervalos (cada intervalo entre números inteiros tem soma das probabilidades dos pontos ≤ aquele intervalo):
F(x)=\begin{cases} 0, & x<1,\\[4pt] 0{,}1, & 1\le x<2,\\[4pt] 0{,}3, & 2\le x<3,\\[4pt] 0{,}6, & 3\le x<4,\\[4pt] 1, & x\ge 4. \end{cases}
Explicação de cada linha: por exemplo, para 1\le x<2\] só o valor \(1 está ≤ x, então F(x)=P(X=1)=0{,}1; para 2\le x<3 estão ≤ x os valores 1 e 2, então F(x)=0{,}1+0{,}2=0{,}3, e assim por diante.]

Passo 5

Esboço do gráfico (descrição visual passo a passo):
  • Para x<1 a função vale 0.
  • Em x=1 ocorre um salto de 0 para 0{,}1; o ponto em x=1 tem valor F(1)=0{,}1 (ponto cheio) e o limite à esquerda é 0 (intervalo aberto à esquerda).
  • Em x=2 salto de 0{,}1 para 0{,}3 (salto de tamanho 0{,}2).
  • Em x=3 salto de 0{,}3 para 0{,}6 (salto de tamanho 0{,}3).
  • Em x=4 salto de 0{,}6 para 1 (salto de tamanho 0{,}4).
    Entre esses pontos a função é constante; graficamente parece uma escada com quatro degraus de alturas 0{,}1, 0{,}2, 0{,}3 e 0{,}4, acumulando até 1. (Isto é tudo consistente com os valores de f(x) calculados acima.)

Passo 6

Agora a média (esperança) E(X). Definição para variável discreta:
E(X)=\sum_{x} x\,P(X=x).
Aqui P(X=x)=f(x)=k x. Então cada termo x\cdot P(X=x) é x\cdot(kx)=k x^2. Assim
E(X)=\sum_{x=1}^{4} k x^2 = k\sum_{x=1}^{4} x^2.
Calcule \sum_{x=1}^{4} x^2 explicitamente:
1^2+2^2+3^2+4^2 = 1+4+9+16 = 30.
Portanto
E(X)=k\cdot 30 = 0{,}1\cdot 30 = 3.
Interpretação rápida: a média é 3, ou seja, o valor esperado do experimento é 3.

Passo 7

Cálculo de E(X^2) necessário para a variância. Definição:
E(X^2)=\sum_{x} x^2 P(X=x).
Como P(X=x)=k x, temos x^2 P(X=x)=k x^3. Então
E(X^2)=k\sum_{x=1}^{4} x^3.
Calcule \sum_{x=1}^{4} x^3 explicitamente:
1^3+2^3+3^3+4^3 = 1+8+27+64 = 100.
Logo
E(X^2)=k\cdot 100 = 0{,}1\cdot 100 = 10.

Passo 8

Agora a variância. Fórmula básica:
\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2.
Substituindo os valores que encontramos:
\operatorname{Var}(X)=10 - 3^2 = 10 - 9 = 1.
Verificação alternativa (opcional, mas explicativa): calcular \sum (x-\mu)^2 P(X=x) com \mu=3:
(1-3)^2\cdot 0{,}1 + (2-3)^2\cdot 0{,}2 + (3-3)^2\cdot 0{,}3 + (4-3)^2\cdot 0{,}4
=4\cdot 0{,}1 + 1\cdot 0{,}2 + 0\cdot 0{,}3 + 1\cdot 0{,}4 = 0{,}4+0{,}2+0+0{,}4=1,
confirmação perfeita.

Resposta

a) k=0{,}1\) b) \[F(x)=\begin{cases} 0, & x<1,\\[4pt] 0{,}1, & 1\le x<2,\\[4pt] 0{,}3, & 2\le x<3,\\[4pt] 0{,}6, & 3\le x<4,\\[4pt] 1, & x\ge 4, \end{cases}
c) E(X)=3\] \(\operatorname{Var}(X)=1]

Exercícios relacionados