Seja
uma variável aleatória discreta com função de distribuição acumulada data por:
x
F(x)
1
0.1
2
0.2
3
0.6
4
0.8
5
0.9
6
1.0
Pede-se:
a. Determine a função de probabilidade
b. Calcule
,
e
.
(resp:
v.s;
v.
v.s)
c. Encontre a média e a variância de
. (resp:
| x | F(x) |
| 1 | 0.1 |
| 2 | 0.2 |
| 3 | 0.6 |
| 4 | 0.8 |
| 5 | 0.9 |
| 6 | 1.0 |
a. Determine a função de probabilidade
b. Calcule
(resp:
c. Encontre a média e a variância de
Passo 1
O enunciado dá a função de distribuição acumulada
da variável aleatória discreta
na tabela abaixo e pede três coisas (a, b e c):
Perguntas que o enunciado faz:
- (a) Determine a função de probabilidade
para . - (b) Calcule
, e . - (c) Calcule a média
e a variância de .
Dados relevantes explicitados: os valores de
para
conforme a tabela acima. A variável é discreta e assume esses valores inteiros.
Passo 2
Conceito essencial para começar (aula rapidinha): para uma variável aleatória discreta que toma valores isolados, a função de probabilidade
relaciona-se com a função de distribuição acumulada
por diferenças entre valores de
. Mais precisamente, para um ponto
(aqui inteiros de 1 a 6),
onde
é o limite da esquerda de
em
, isto é,
quando os
são consecutivos. Em palavras simples: a probabilidade de
valer
é o “salto” de
em
. No caso dos inteiros
, isso vira a diferença entre o valor de
nesse inteiro e o valor de
no inteiro anterior; para o menor valor
usamos
.
Passo 3
Aplicando o que vimos para cada ponto da tabela e explicando conta a conta:
- Para
:
porque não há valores menores que
na tabela (o salto inicial é
).
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Mostrei cada diferença explicitamente para você poder reproduzir rapidinho na prova.
Passo 4
Verificação rápida (boa prática): a soma das probabilidades deve dar
. Somando:
Está tudo consistente.
Passo 5
Agora parte (b): calcular
. Dica de prova: usar
para evitar somas manuais se quiser — por exemplo, para
vale
. Vou mostrar com essa fórmula e também com soma de
para ver a equivalência.
- Para
: pela fórmula com ,
Se preferir somar
:
.
- Para
: note que . Então
Ou somando
:
.
- Para
: usamos . Logo
Isto é o mesmo que
.
Passo 6
Parte (c): média e variância. Primeiro a fórmula da esperança (média) para variável discreta: se
toma valores
com probabilidades
, então
Aqui
. Vou calcular termo a termo e acumular:
Somando todos:
Agora a variância: uma forma prática é calcular
e usar
Então calculamos
. Calculemos termo a termo:
Somando:
Agora a variância:
Passo 7
Resumo final (já verificando que bate com o que você colocou como “resp”): as probabilidades, os
, a média e a variância foram calculados com todos os passos acima e conferem com os valores esperados.
Resposta
(a)
(b)
(c)