Seja X uma variável aleatória discreta com função de distribuição acumulada data por:
x F(x)
1 0.1
2 0.2
3 0.6
4 0.8
5 0.9
6 1.0
Pede-se:
a. Determine a função de probabilidade f(x)
b. Calcule p_{1}=P(3<X \leq 5),
p_{2}=P(4 \leq X \leq 6) e p_{3}=P(X>5).
(resp: \mu_{1}= v.s; \mu_{2}= v. \mathbf{4} ; \mu_{3}= v.s)
c. Encontre a média e a variância de X. (resp:
E(X)=3.4 ; V(X)=1.84)

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x) da variável aleatória discreta X na tabela abaixo e pede três coisas (a, b e c):
\begin{array}{|c|c|} \hline x & F(x)\\\ \hline 1 & 0{,}1\\\ \hline 2 & 0{,}2\\\ \hline 3 & 0{,}6\\\ \hline 4 & 0{,}8\\\ \hline 5 & 0{,}9\\\ \hline 6 & 1{,}0\\\ \hline \end{array}
Perguntas que o enunciado faz:
  • (a) Determine a função de probabilidade f(x)=P(X=x) para x=1,2,3,4,5,6.
  • (b) Calcule p_{1}=P(3<X\le 5), p_{2}=P(4\le X\le 6) e p_{3}=P(X>5).
  • (c) Calcule a média E(X) e a variância V(X) de X.
Dados relevantes explicitados: os valores de F(x) para x=1,\dots,6 conforme a tabela acima. A variável é discreta e assume esses valores inteiros.

Passo 2

Conceito essencial para começar (aula rapidinha): para uma variável aleatória discreta que toma valores isolados, a função de probabilidade f(x)=P(X=x) relaciona-se com a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x) por diferenças entre valores de F. Mais precisamente, para um ponto x_k (aqui inteiros de 1 a 6),
f(x_k)=P(X=x_k)=F(x_k)-F(x_k^-),
onde F(x_k^-) é o limite da esquerda de F em x_k, isto é, P(X\le x_k^-)=P(X\le x_{k-1}) quando os x_k são consecutivos. Em palavras simples: a probabilidade de X valer x_k é o “salto” de F em x_k. No caso dos inteiros 1,2,\dots,6, isso vira a diferença entre o valor de F nesse inteiro e o valor de F no inteiro anterior; para o menor valor x=1 usamos F(1)-0.

Passo 3

Aplicando o que vimos para cada ponto da tabela e explicando conta a conta:
  • Para x=1: f(1)=F(1)=0{,}1
porque não há valores menores que 1 na tabela (o salto inicial é F(1)-0).
  • Para x=2: f(2)=F(2)-F(1)=0{,}2-0{,}1=0{,}1.
  • Para x=3: f(3)=F(3)-F(2)=0{,}6-0{,}2=0{,}4.
  • Para x=4: f(4)=F(4)-F(3)=0{,}8-0{,}6=0{,}2.
  • Para x=5: f(5)=F(5)-F(4)=0{,}9-0{,}8=0{,}1.
  • Para x=6: f(6)=F(6)-F(5)=1{,}0-0{,}9=0{,}1.
Mostrei cada diferença explicitamente para você poder reproduzir rapidinho na prova.

Passo 4

Verificação rápida (boa prática): a soma das probabilidades deve dar 1. Somando:
0{,}1+0{,}1+0{,}4+0{,}2+0{,}1+0{,}1 = 1{,}0.
Está tudo consistente.

Passo 5

Agora parte (b): calcular p_1,p_2,p_3. Dica de prova: usar F para evitar somas manuais se quiser — por exemplo, para P(a<X\le b) vale \,F(b)-F(a)\,. Vou mostrar com essa fórmula e também com soma de f para ver a equivalência.
  • Para p_{1}=P(3<X\le 5): pela fórmula com F,
p_{1}=F(5)-F(3)=0{,}9-0{,}6=0{,}3.
Se preferir somar f: p_{1}=f(4)+f(5)=0{,}2+0{,}1=0{,}3.
  • Para p_{2}=P(4\le X\le 6): note que P(4\le X\le 6)=P(X\le 6)-P(X\le 3)=F(6)-F(3). Então
p_{2}=1{,}0-0{,}6=0{,}4.
Ou somando f: f(4)+f(5)+f(6)=0{,}2+0{,}1+0{,}1=0{,}4.
  • Para p_{3}=P(X>5): usamos P(X>5)=1-P(X\le 5)=1-F(5). Logo
p_{3}=1-0{,}9=0{,}1.
Isto é o mesmo que f(6)=0{,}1.

Passo 6

Parte (c): média e variância. Primeiro a fórmula da esperança (média) para variável discreta: se X toma valores x_i com probabilidades f(x_i), então
E(X)=\sum_{i} x_i\,f(x_i).
Aqui x_i=1,2,3,4,5,6. Vou calcular termo a termo e acumular:
\begin{aligned} 1\cdot f(1)&=1\cdot 0{,}1=0{,}1,\\\\ 2\cdot f(2)&=2\cdot 0{,}1=0{,}2,\\\\ 3\cdot f(3)&=3\cdot 0{,}4=1{,}2,\\\\ 4\cdot f(4)&=4\cdot 0{,}2=0{,}8,\\\\ 5\cdot f(5)&=5\cdot 0{,}1=0{,}5,\\\\ 6\cdot f(6)&=6\cdot 0{,}1=0{,}6. \end{aligned}
Somando todos:
E(X)=0{,}1+0{,}2+1{,}2+0{,}8+0{,}5+0{,}6=3{,}4.
Agora a variância: uma forma prática é calcular E(X^2) e usar
V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2.
Então calculamos E(X^2)=\sum x_i^2 f(x_i). Calculemos termo a termo:
\begin{aligned} 1^2\cdot f(1)&=1\cdot 0{,}1=0{,}1,\\\\ 2^2\cdot f(2)&=4\cdot 0{,}1=0{,}4,\\\\ 3^2\cdot f(3)&=9\cdot 0{,}4=3{,}6,\\\\ 4^2\cdot f(4)&=16\cdot 0{,}2=3{,}2,\\\\ 5^2\cdot f(5)&=25\cdot 0{,}1=2{,}5,\\\\ 6^2\cdot f(6)&=36\cdot 0{,}1=3{,}6. \end{aligned}
Somando:
E(X^2)=0{,}1+0{,}4+3{,}6+3{,}2+2{,}5+3{,}6=13{,}4.
Agora a variância:
V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=13{,}4-(3{,}4)^2=13{,}4-11{,}56=1{,}84.

Passo 7

Resumo final (já verificando que bate com o que você colocou como “resp”): as probabilidades, os p_j, a média e a variância foram calculados com todos os passos acima e conferem com os valores esperados.

Resposta

(a) f(1)=0{,}1,\; f(2)=0{,}1,\; f(3)=0{,}4,\; f(4)=0{,}2,\; f(5)=0{,}1,\; f(6)=0{,}1
(b) p_{1}=0{,}3,\; p_{2}=0{,}4,\; p_{3}=0{,}1
(c) E(X)=3{,}4,\; V(X)=1{,}84

Exercícios relacionados